Produit libre

En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des groupes, le produit libre M de deux ou plusieurs groupes G, H, etc., est une opération qui prend deux groupes G et H pour construire un nouveau groupe $G \star H$. Le résultat contient G et H comme sous-groupes, est généré par les éléments de ces sous-groupes, et représente le groupe le « plus général » possédant ces propriétés.

Le produit libre permet d'exprimer les morphismes de G, H, etc. dans un même groupe comme homomorphisme du produit libre M dans ce groupe.

Définition

Plus précisément, si G et H sont deux groupes, le produit libre $G \star H$ est un groupe, dans lequel les groupes G et H s'injectent ($i: G \to G \star H$ et $j: H \to G \star H$), et qui est défini par la propriété universelle suivante :

Pour tout groupe I, pour tous les homomorphismes de groupes $g: G \to I$ et $h: H \to I$, il existe un unique morphisme $f: G \star H \to I$ qui prolonge à la fois h et g (au sens où $\forall x \in G, f(i(x))=g(x)$ et $\forall x \in H, f(j(x))=h(x))$. Cette propriété définit $G \star H$ de manière unique à isomorphisme près.

La définition s'étend de manière analogue pour plusieurs groupes. Autrement dit, le produit libre est le coproduit (ou somme) dans la catégorie des groupes, par opposition au produit direct, qui est un exemple de produit en théorie des catégories.

Une manière de se représenter $G \star H$ est de considérer l'ensemble des mots formés par une alternance d'éléments de G et d'éléments de H. Un élément typique de $G \star H$ s'écrira (g₁,h₁,g₂,h₂,...,g_n,h_n) (ou encore (g₁,h₁,g₂,h₂,...,h_{n − 1},g_n), ou (h₁,g₁,h₂,...g_{n − 1},h_n), ou enfin (h₁,g₁,h₂,...h_n,g_n)). On définit le produit de deux tels mots par juxtaposition (et simplification (...,h_n)(h'₁,..) = (...,h_nh'₁,...) par exemple).

Théorèmes et exemples

On peut montrer qu'un groupe libre est le produit libre de groupes cycliques infinis ; par exemple le groupe libre de rang deux F₂ est le produit libre de $\mathbb{Z}$ avec lui-même, ce que l'on note $F_2=\mathbb{Z}*\mathbb{Z}$. Un autre exemple est le groupe projectif linéaire $PSL(\mathbb{Z},2)=\mathbb{Z}_2*\mathbb{Z}_3$.

À moins que l'un des deux groupes G et H ne soit trivial, le produit libre est toujours infini. La construction d'un produit libre est similaire, dans l'esprit, à celle d'un groupe libre (le groupe le plus général qui puisse être fait à partir d'un ensemble donné de générateurs).

Références

• Thomas Hungerford, Algebra, Springer, 1974, p. 67-68.
• Serge Lang, Algèbre [détail des éditions]