Semi-groupe

Semi-groupe
Page d'aide sur l'homonymie Ne doit pas être confondu avec demi-groupe.

En mathématiques, un semi-groupe est une structure algébrique, en quelque sorte intermédiaire entre un magma et un groupe. Pour les besoins de l'informatique, les propriétés propres aux semi-groupes sont étudiées depuis les années 1950[1]. En analyse sont étudiés les semi-groupes d'opérateurs, en particulier pour comprendre les solutions d'équations différentielles[réf. nécessaire].

Sommaire

Définitions

Un semi-groupe est un magma (E, * ) dont la loi de composition interne est :

  • Unifère : elle possède un élément neutre bilatère (à droite et à gauche) ;
  • Associative : pour tous x, y et z dans G, on a : (x * y) * z = x * (y * z) ;
  • Régulière : si x * y = x * z, alors y = z (régularité à gauche) et si y * x = z * x, alors y = z (régularité à droite).

Un semi-groupe est donc plus structuré qu'un monoïde (c'est un monoïde dont les éléments sont réguliers), mais moins qu'un groupe : tout élément d'un semi-groupe ne possède pas forcément d'inverse. La définition anglo-saxonne du semigroup est différente : semigroup désigne en anglais tout magma associatif ou demi-groupe ce qui peut entraîner des confusions.

Un morphisme de semi-groupes est simplement un morphisme de magmas entre semi-groupes. L'image et le noyau sont des semi-groupes. Plus généralement, un sous-magma (sous-ensemble stable par produit) d'un semi-groupe est un semi-groupe.

Un semi-groupe topologique est un semi-groupe dont l'ensemble sous-jacent est muni d'une topologie pour laquelle la loi de groupe est une application continue.

Exemples

Quelques exemples de semi-groupes :

  • L'ensemble des entiers naturels muni de l'addition (\mathbb N,+) ;
  • Tout groupe ;
  • Un anneau est, pour la loi de multiplication, un demi-groupe ; privé de 0, c'est un semi-groupe si et seulement si l'anneau est sans diviseur de zéro ;
  • Tout sous-ensemble d'un semi-groupe qui est fermé sous sa loi de composition interne est un semi-groupe ;
  • L'ensemble des mots finis sur un alphabet (éventuellement infini), muni de la loi de concaténation, est un semi-groupe.

Symétrisation

Il est toujours possible, à partir d'un semi-groupe commutatif (E, + ), de construire un groupe le contenant : c'est la procédure de symétrisation du semi-groupe. Plus exactement, à isomorphisme près, il existe un unique morphisme de semi-groupes f:(E,+)\rightarrow (G,+) de E dans un groupe commutatif G tel que tout morphisme de semi-groupes de E dans un groupe commutatif G se factorise à travers f. Un tel morphisme f est nécessairement injectif.

La symétrisation de E répond à un problème universel : le groupe G peut être décrit comme l'objet initial d'une certaine catégorie. L'unicité à isomorphisme près s'obtient donc immédiatement. L'existence repose sur l'argument ensembliste suivant. On considère pour cela la relation d'équivalence dans E×E définie par :

 \forall (m,n) \in E^2 , \forall (p,q) \in E^2 , \ [ ( m , n ) \mathcal{R} ( p , q ) ] \Leftrightarrow [ m + q = p + n ] \,.

L'ensemble des classes d'équivalences de E×E pour \mathcal{R} est alors un groupe. Par identification d'un élément x de E avec la classe d'équivalence contenant ( x , 0 ) (où 0 est l'élément neutre de la loi +), il est possible de plonger E à l'intérieur de ce groupe.

Cette construction est utilisée, entre autres, pour construire le groupe des entiers relatifs (\mathbb Z,+) à partir du semi-groupe des entiers naturels (\mathbb N,+). Elle intervient aussi pour introduire le groupe des tresses.

Historique

L'étude formelle des semi-groupes vint tardivement dans l'étude des structures algébriques. Les groupes et les anneaux ont été étudiés au milieu du XIXe siècle. Selon certaines sources[réf. nécessaire], le terme semi-groupe est attribué au mathématicien français J.-A. de Séguier pour la première fois utilisé dans Éléments de la Théorie des Groupes Abstraits en 1904. Le terme a été traduit ensuite en anglais en 1908 par Harold Hinton dans Theory of Groups of Finite Order. En 1970 seulement apparaît le premier périodique consacré à la théorie des demi-groupes, appelé Semigroup Forum (actuellement édité par Springer Verlag)[réf. nécessaire].

Le premier résultat non trivial sur la théorie des semi-groupes est souvent attribué à Anton Suschkewitsch qui détermina en 1928 la structure des semi-groupes simples finis[2]. Il démontra que l'idéal minimal d'un semi-groupe fini est simple. Des travaux fondateurs ultérieurs furent menés par David Rees (en), James Alexander Green, Evgenii Sergeevich Lyapin, Alfred H. Clifford et Gordon Preston.

La théorie des semi-groupes finis est beaucoup plus développée. Elle est liée aux variétés de langages formels dont les liens ont été particulièrement utiles pour les besoins de la théorie des automates[3].

Références

  1. En particulier par Kleene, Rabin et Scott
  2. Über die endlichen Gruppen ohne das Gesetz der eindeutigen Uhmkehrbarkeit, 1928.
  3. Varieties of Formal Languages, J.É. Pin, Plenum Press, 1986.

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Semi-groupe de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • semi-groupe — pusgrupis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. half group; semigroup vok. Halbgruppe, f rus. полугруппа, f pranc. semi groupe, m …   Fizikos terminų žodynas

  • semi-groupe inverse — apgrąžinis pusgrupis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. inverse semigroup vok. inverse Halbgruppe, f rus. инверсная полугруппа, f pranc. semi groupe inverse, m …   Fizikos terminų žodynas

  • semi-groupe limitant — ribojantysis pusgrupis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. limiting semigroup vok. begrenzende Halbgruppe, f rus. ограничительная полугруппа, f pranc. semi groupe limitant, m …   Fizikos terminų žodynas

  • semi-groupe pur — grynasis pusgrupis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. pure semigroup vok. reine Halbgruppe, f rus. чистая полугруппа, f pranc. semi groupe pur, m …   Fizikos terminų žodynas

  • Groupe (mathématique) — Groupe (mathématiques) Pour les articles homonymes, voir Groupe.  Cet article concerne une introduction au concept de groupe. Pour un approfondissement, voir théorie des groupes …   Wikipédia en Français

  • Groupe De Renormalisation — En mécanique statistique, le groupe de renormalisation (qui est plutôt un semi groupe, les transformations n étant pas inversibles) est un ensemble de transformations qui permettent de transformer un hamiltonien en un autre hamiltonien par… …   Wikipédia en Français

  • Groupe de renormalisation — En mécanique statistique, le groupe de renormalisation (qui est plutôt un semi groupe, les transformations n étant pas inversibles) est un ensemble de transformations qui permettent de transformer un hamiltonien en un autre hamiltonien par… …   Wikipédia en Français

  • Groupe Fini — En mathématiques, un groupe fini est un groupe constitué d un nombre fini d éléments, c est à dire que son cardinal est fini. Sommaire 1 Introduction 2 Parité de l ordre et involution 3 Exemples …   Wikipédia en Français

  • Groupe De Lie — En mathématiques, un groupe de Lie est un groupe qui est continu, c est à dire que chaque élément du groupe peut être approché d aussi près que l on veut par une suite d autres éléments du groupe. Un groupe de Lie est en fait un peu plus qu un… …   Wikipédia en Français

  • Groupe de lie — En mathématiques, un groupe de Lie est un groupe qui est continu, c est à dire que chaque élément du groupe peut être approché d aussi près que l on veut par une suite d autres éléments du groupe. Un groupe de Lie est en fait un peu plus qu un… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”