Somme de Dedekind

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En mathématiques, les sommes de Dedekind, nommées ainsi en l'honneur du mathématicien Richard Dedekind, sont certaines sommes de produits d'une fonction en dents de scie s, et sont données par une fonction D de trois variables entières. Dedekind les a introduites pour exprimer l'équation fonctionnelle de la fonction êta de Dedekind. Elles ont été, par la suite, beaucoup étudiées dans la théorie des nombres et sont apparues dans certains problèmes de topologie. Les sommes de Dedekind obéissent à un grand nombre de relations sur elles-mêmes; cet article liste seulement une petite quantité de celles-ci.

Définition

La somme de Dedekind est une fonction définie pour 2 entiers de la manière suivante :

$s(k,h)= \sum_{r=1}^{k-1}{\frac{r}{k}\left( \frac{hr}{k} - \left[ \frac{hr}{k}\right] - \frac{1}{2} \right)}$

Propriétés

• Si on pose $((x))= \begin{cases} x-[x]-1/2, & \mbox{si }x\mbox{ n}' \mbox{est pas entier} \\ 0, & \mbox{sinon } \end{cases}$

On peut écrire que $s(h,k)=\sum_{r \mbox{ mod } k}{\left( \left( \frac{r}{k} \right) \right) \left( \left( \frac{hr}{k} \right) \right)}$. Cela permet d'exploiter le fait que ((x)) est périodique de période 1.

• Si $h' \equiv \pm h [k] \,$, alors $s(h',k) = \pm s(h,k)\,$ avec le même signe.
• Si $h \bar{h} \equiv \pm 1 [k]$, alors $s(\bar{h},k) = \pm s(h,k)$.
• Si $h^2 +1 \equiv 0 [k]\,$, alors $s(h,k) = 0\,$.

Loi de réciprocité

Si (h,k) = 1, alors:

$12hks(h,k) + 12hks(k,h)=h^2 + k^2 -3hk+1\,$

Propriétés de congruence

• Le nombre $6ks(h,k)\,$ est entier.
• Si $\theta = (3,k)\,$ ( avec (.,.) désignant le Plus grand commun diviseur), on a:
  • $12hks(k,h) \equiv 0 [\theta k]\,$
  • $12hks(h,k) \equiv h^2 + 1 [\theta k]\,$

• On a aussi : $12ks(h,k) \equiv (k-1)(k+2) -4h(k-1) + 4\sum_{r < k/2}{\left[\frac{2hr}{k} \right]} \mbox{ mod } 8\,$

• Si $k=2^{\lambda}k_1 \,$, et k₁ impair, alors pour tout h impair:

$12hks(h,k) \equiv h^2 + k^2 + +5k -4k\sum_{v<h/2}{\left[\frac{2kv}{h}\right]} \mbox{ mod } 2^{\lambda + 3}$

• Enfin, si q vaut 3,5,7 ou 13 et que $r=24/(q-1) \,$. Choississons les entiers a,b,c et d tels que ad − bc = 1 et c = qc₁ et posons :

$\delta = \left(s(a,c)-\frac{a+d}{12c} \right) - \left(s(a,c_1)-\frac{a+d}{12c_1} \right) \,$

Alors $\delta r \,$ est entier.

Références

• Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Tom Apostol, Springer-Verlag

Bibliographie

• A. Bayad & A. Raouj , Reciprocity formulae for general multiple Dedekind-Rademacher sums and enumeration of lattice points, Acta Arith. 145 (2010) , pp. 137-154
• A. Bayad & A. Raouj , Arithmetic of higher dimensional Dedekind-Rademacher sums Journal of Number Theory(2011)