Spectre d'un opérateur linéaire

Pour les articles homonymes, voir Spectre.

En mathématiques, plus précisément en analyse fonctionnelle, le spectre d'un opérateur linéaire sur un espace vectoriel topologique est l'ensemble de ses valeurs spectrales. En dimension finie, cet ensemble se réduit à l'ensemble des valeurs propres de cet endomorphisme, ou de sa matrice dans une base.

En théorie des opérateurs (en) et en mécanique quantique, la notion de spectre s'étend aux opérateurs non bornés fermés.

Spectre d'un élément d'une algèbre de Banach

Soit $\mathcal{A}$ une algèbre de Banach unifère sur le corps des nombres complexes. Le spectre d'un élément x de $\mathcal{A}$, noté σ(x) est l'ensemble des nombres complexes λ pour lesquels l'élément $r(\lambda,x):=\lambda 1_{\mathcal A}-x$ n'admet pas d'inverse dans $\mathcal{A}$.

Spectre d'un opérateur linéaire borné

Article détaillé : valeur spectrale.

On définit le spectre d'un opérateur borné sur un espace de Banach complexe X comme son spectre lorsqu'on considère cet opérateur comme étant un élément de l'algèbre de Banach $\mathcal{B}(X)$ des opérateurs bornés sur X. Plus explicitement, si on note par I l'application identité de X, qui est l'élément unité de $\mathcal{B}(X)$, alors le spectre de l'opérateur linéaire borné $T: X \to X$ est l'ensemble σ(T) des nombres complexes λ pour lesquels l'opérateur R(λ) = λI − T n'admet pas d'opérateur inverse.

Propriétés

Si $\scriptstyle T\in\mathcal B(X)$ et f est une fonction entière alors σ(f(T)) = f(σ(T)).

Si $\scriptstyle P\in\mathcal B(X)$ est un opérateur de projection, c'est-à-dire si P² = P, alors σ(P) = {0,1}.

Tout opérateur borné sur un espace de Banach complexe a un spectre non vide (alors qu'il peut n'avoir aucune valeur propre, comme dans le cas de l'opérateur de décalage (en) S défini sur l'espace de Hilbert ℓ² par x=(x₀, x₁, …)↦Sx=(0, x₀, x₁, …)). C'est donc via cette notion de spectre qu'on généralise le fait que tout endomorphisme d'un espace vectoriel complexe de dimension finie (ou toute matrice carrée à coefficients complexes) admet des valeurs propres.

Référence

Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions]

Article connexe

Rayon spectral