Suite arithmético-géométrique

 Ne pas confondre avec la moyenne arithmético-géométrique.

En mathématiques, une suite arithmético-géométrique est une suite satisfaisant une relation de récurrence affine, généralisant ainsi les définitions des suites arithmétiques et géométriques.

Définition

On se place dans un corps commutatif K quelconque, par exemple $\R$ (corps des réels) ou $\mathbb C$ (corps des complexes). La suite $(u_n)_{n \in \N}$ à valeur dans K est une suite arithmético-géométrique quand il existe $a,b \in K$ tels qu'elle vérifie la relation de récurrence suivante au delà d'un certain rang n₀:

$\forall n\geq n_0,\ u_{n+1}=a u_n+b$

Terme général

Cas a = 1

Pour le cas a = 1, on a affaire à une suite arithmétique, donc

$\forall n\ge n_0,\qquad u_n=u_{n_0}+(n-n_0)b$.

Cas a ≠ 1

En posant

$r =\frac b{1-a}$

on a :

$\forall n\ge n_0,\qquad u_n=a^{n-n_0}(u_{n_0}- r)+r$.

Deux démonstrations

• Méthode classique

On cherche par translation à se ramener à une suite géométrique : on pose

v_n = u_n − r

et on vérifie que (v_n) est géométrique de raison a. Ainsi,

$u_n =v_n+r= a^{n-n_0}v_{n_0}+r=a^{n-n_0}(u_{n_0}- r)+r$.

• Méthode utilisant une série géométrique.

Une autre méthode consiste à voir dans la suite (u_n)une somme des termes d'une suite géométrique.

En calculant u₁, u₂, u₃, on observe que

$u_{1}=au_{0}+b\,$

$u_{2}=a(au_{0}+b)+b=a^{2}u_{0}+ab+b\,$

$u_{3}=a(a^{2}u_{0}+ab+b)+b=a^{3}u_{0}+a^{2}b+ab+b\,$

$u_{4}=a(a^{3}u_{0}+a^{2}b+ab+b)+b = a^{4}u_{0}+a^{3}b+a^{2}b+a^{1}b+a^{0}b= a^{4}u_{0}+b(a^{0}+a^{1}+a^{2}+a^{3})\,$

Plus généralement, on montre par récurrence que  :

$u_{n}=a^{n}u_{0}+b\left(\sum_{i=0}^{n-1}a^{i}\right)$

(Cette formule est valide dès la valeur n=0, avec la convention usuelle qu'une somme vide est nulle.)

L'expression entre parenthèse est à la somme des n premiers termes d'une suite géométrique de premier terme 1 et de raison a;

La formule pour la somme des premiers termes d'une suite géométrique de raison q donne

$\sum_{i=0}^{n}q^{i}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ donc $\sum_{i=0}^{n-1}a^{i}=\frac{1-a^{(n-1)+1}}{1-a}= \frac{1-a^{n}}{1-a}$.

On peut alors simplifier le terme général de la suite arithmético-géométrique :

$uU_{n}=a^{n}u_{o}+b\left[\frac{1-a^{n}}{1-a}\right]$

Sous cette forme, la formule est utilisable, mais pour obtenir la somme des n premiers termes ou pour obtenir la somme des termes consécutifs il est nécessaire de simplifier encore l'écriture :

$u_{n}=a^{n}u_{0}+b\left[\frac{1}{1-a}-\frac{a^{n}}{1-a}\right]$

$u_{n}=a^{n}u_{0}+\left[\frac{b}{1-a}-\frac{ba^{n}}{1-a}\right]$

$u_{n}=a^{n}u_{0}-\frac{ba^{n}}{1-a}+\frac{b}{1-a}$

$u_{n}=a^{n}\left(u_{0}-\frac{b}{1-a}\right)+\frac{b}{1-a}$

En posant $r=\frac{b}{1-a}$, on obtient

$u_{n}=a^{n}\left(u_{o}-r\right)+r$

formule qui se généralise, pour tout entier k positif en

$u_{n_0+k}=a^{k}\left(u_{n_0}-r\right)+r$

Somme des premiers termes

Si a ≠ 1, toujours en posant

$r=\frac{b}{1-a}$,

et en supposant n₀ = 0 pour simplifier les notations, on a la formule suivante :

$\sum_{i=0}^{n-1} u_{i}=(u_{0}-r)\dfrac{1-a^{n}}{1-a} + nr\,$.

(On la démontre en utilisant l'expression du terme général de la section précédente, et la somme des premiers termes d'une suite géométrique.)

Démonstration : obtenir la somme des n premiers termes consécutifs

$u_{n}=a^{n}\left(u_{0}-r\right)+r$ est le terme général d'une suite arithmético-géométrique de récurrence u_{n + 1} = au_n + b quand on pose : $r=\frac{b}{1-a}$

On pose χ = u_o − r

u_n = aⁿχ + r

En calculant les premières sommes, on observe que

$\sum_{i=0}^{n=4}U_{i}=a^{0}\chi+r+a^{1}\chi+r+a^{2}\chi+r+a^{3}\chi+r+a^{4}\chi+r$

$\sum_{i=0}^{n=4}U_{i}=a^{0}\chi+a^{1}\chi+a^{2}\chi+a^{3}\chi+a^{4}\chi+5r$

$\sum_{i=0}^{n=4}U_{i}=\chi(a^{0}+a^{1}+a^{2}+a^{3}+a^{4})+(4+1)r$

et, plus généralement :

$\sum_{i=0}^{n}u_{i}=\chi\left(\sum_{0}^{n}a^{n}\right)+(n+1)r$

Ce qu'il y a entre parenthèse ci-dessus est la somme des n+1 premiers termes d'une suite géométrique dont premier terme 1 et de raison a, on peut simplifier l'expression (voir les suites géométriques):

$\sum_{i=0}^{n}u_{i}=\chi\left(\frac{1-a^{n+1}}{1-a}\right)+(n+1)r$

$\sum_{i=0}^{n}u_{i}=(u_{o}-r)\frac{1-a^{n+1}}{1-a}+(n+1)r$

Si l'on désire la somme des n premiers termes, il faut écrire

$\sum_{i=0}^{n-1}u_{i}=(u_{0}-r)\frac{1-a^{n-1+1}}{1-a}+(n-1+1)r = (u_{0}-r)\frac{1-a^{n}}{1-a}+nr$

Puis, en remplaçant r par son expression en fonction de a et b :

$\sum_{i=0}^{n-1}u_{i}=\left(u_{o}-\frac{b}{1-a}\right)\left(\frac{1-a^{n}}{1-a}\right)+\frac{nb}{1-a}$

Le n-1 peut être perturbant au dessus du Sigma, il faut le comprendre ainsi : pour faire la somme des 15 premiers termes consécutifs, en commençant à u₀, il faut s'arrêter à u₁₄.

Somme des termes consécutifs

Si a ≠ 1, toujours en posant

$r=\frac{b}{1-a}$

en admettant que n > p on a la formule suivante

$\sum_{i=p}^{n} u_{i}=(u_{0}-r)\dfrac{a^{p}-a^{n+1}}{1-a} + r(n+1-p)$

Convergence

Le terme général et les considérations sur les suites géométriques permettent de déterminer la limite d'une telle suite suivant les valeurs de a et, éventuellement, le signe de $u_{n_0} - r$ (si a ≠ 1 et r=b/(1-a)).

Une remarque intéressante est à faire dans le cas où | a | < 1. Dans ce cas, la limite de la suite est r quelle que soit la valeur initiale. La limite d'une suite de ce type est donc complètement indépendante des conditions initiales. Cette particularité est à mettre en regard avec les suites à récurrence non linéaire (suite logistique) qui peuvent, elles, être très sensibles aux conditions initiales. Dans une chaîne de Markov, cela prouve que la chaîne converge vers une chaîne stationnaire.

Utilisation

Les suites arithmético-géométriques se rencontrent dans la modélisation de certains flux de population (apport fixe et fuite proportionnelle). Exemple : apport de 10 et fuite de 5%, $u_{n+1} = u_n+ 10 - \frac{5}{100} \times u_n$

Elle se rencontre aussi dans les plans de remboursement : un capital C emprunté à un taux mensuel t et remboursé par mensualités M conduit à l'élaboration d'un plan de remboursement. Si R_n représente le capital restant dû au bout de n mensualités, la suite $(R_n)\,$ est une suite arithmético-géométrique de relation de récurrence : R_{n + 1} = (1 + t)R_n − M

On la trouve aussi dans une chaîne de Markov à deux états. La matrice stochastique est alors

$\begin{pmatrix} a & 1-a \\ 1-b & b \end{pmatrix}$

De la relation

$(p_{n+1},q_{n+1})=(p_n,q_n) \begin{pmatrix} a & 1-a \\ 1-b & b \end{pmatrix}$

On déduit que :

$p_{n+1} = ap_n + (1-b)q_n\,$.

Comme d'autre part,

$q_n = 1-p_n\,$,

en remplaçant on obtient

$p_{n+1}= (a + b - 1)p_n + 1 - b\,$

Voir aussi

• Suite arithmétique
• Suite géométrique