Serie geometrique


Serie geometrique

Série géométrique

En mathématiques, la série géométrique est l'un des exemples de série numérique les plus simples qu'on puisse donner. C'est la série des termes d'une suite géométrique.

Bien qu'en apparence simple, elle mérite attention car elle admet une généralisation dans les algèbres de Banach qui permet d'étudier les variations de l'inverse d'un élément.

Sommaire

Définition dans le corps des réels

Soit (u_n)_{n \in \N} une suite géométrique à valeurs réelles de terme initial u_0=a \in \R et de raison q \in \R. On exclut le cas q = 1 qui nous donne une suite constante égale à a.

On appelle série géométrique la série de terme général un. La suite (S_n)_{n \in \N} des sommes partielles de cette série est donc définie par

\forall n \in \N,\ S_n=\sum_{k=0}^{n-1} u_k=u_0+u_1+u_2+u_3+\ldots+u_{n-1}

Terme général

Nous connaissons le terme général de la suite géométrique (un):

\forall n \in \N,\ u_n=aq^n

On en déduit le terme général de la suite (Sn):

 S_n=a \sum_{i=0}^{n-1} q^{i} =a \frac{1-q^{n}}{1-q}

Preuve par récurrence

L'identité est vraie pour n = 1. Supposons-la vérifiée au rang n. Alors, il suffit d'écrire :

S_{n+1}=S_n+aq^n=a\frac{1-q^{n}}{1-q}+aq^n=a\frac{1-q^{n}+q^n-q^{n+1}}{1-q}=a\frac{1-q^{n+1}}{1-q}

ce qui montre l'assertion au rang n + 1.

Preuve astucieuse

Pour n \in \N fixé, on multiplie Sn par q, puis on soustrait le résultat obtenu à Sn:


\begin{array}{ccccccccccccccc}
S_n      &=& a   &+& a.q &+& aq^2 &+& \ldots &+& aq^{n-2} &+& aq^{n-1} & & \\
qS_n     &=&     & & a.q &+& aq^2 &+& \ldots &+& aq^{n-2} &+& aq^{n-1} &+& aq^n \\
\hline
S_n-qS_n &=& a   & &     & &      & &        & &          & &          &-& aq^n \\   
\end{array}

On obtient donc

S_n\left(1-q\right)=a\left(1-q^n\right)

puis

S_n=a\cfrac{1-q^n}{1-q}

Autre preuve assez naturelle

On utilise l'identité : a^{n+1} - b^{n+1} = (a - b)\,\sum_{k=0}^na^kb^{n-k} ; puis on fait a = 1.

Convergence

On cherche à trouver les cas où la série géométrique est convergente, où ce qui est équivalent, les cas où la suite (Sn) est convergente. On va distinguer trois cas (tout en éliminant le cas a = 0 qui est sans intérêt):

  • Si | q | < 1, alors qn tend vers 0, et donc la suite (Sn) est convergente, de limite
\cfrac{a}{1-q}.
Cette notion permet de résoudre le paradoxe d'Achille et de la tortue énoncé par les Grecs anciens.
  • Si | q | = 1, on a deux cas. Si q=1, alors Sn = an et si q = − 1, alors Sn = 0 pour n pair et Sn = a pour n impair. La suite diverge dans les deux cas.
  • Si | q | > 1, la suite (qn) et a fortiori (Sn) diverge grossièrement.

Ces sommes sont dites géométriques, parce qu'elles apparaissent en comparant des longueurs, des aires, des volumes, etc. de formes géométriques dans différentes dimensions.

On dispose donc du résultat général suivant, connu sous le nom de lemme de lurton :

La série géométrique réelle de terme initial a \in \R non nul et de raison q \in \R est convergente si et seulement si | q | < 1. Dans ce cas, sa somme vaut :

\sum_{n=0}^{\infty} aq^n=\frac{a}{1-q}

Exemples numériques

  • On cherche à calculer 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256.
C'est la somme partielle d'une série géométrique de raison 2 et de premier terme 2. La formule ci-dessus s'écrit :
2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256=2\times \frac{1-256}{1-2}=510

Généralisation au corps des complexes

Les résultats s'étendent très naturellement au corps des nombres complexes.

Une série géométrique de premier terme a \in \mathbb{C} et de raison q \in \mathbb{C} est la série de terme général aqn.

La condition nécessaire et suffisante de convergence est que la raison qsoit un complexe de module strictement inférieur à 1.

Les séries géométriques sont les exemples les plus simples de séries entières qu'on dispose. Son rayon de convergence est 1.

Le point 1 est un point de césure.

Séries géométriques dans les algèbres de Banach

Si (A,\|.\|) désigne une algèbre de Banach, la série géométrie de raison u\in A est la série de terme général u. Lorsque \|u\|<1, la sous-multiplicativité donne :

\|u^n\|\leq \|u\|^n

Comme la série géométrique réelle de raison \|u\| est convergente, la série géométrique de raison u est absolument convergente. Notons S sa somme. Alors on a :

(1-u)S=\sum_{n=0}^{\infty} u^n-\sum_{n=1}^{\infty} u^n=1

Donc S est l'inverse de (1 − u). C'est un résultat fondamental. Voici quelques applications énoncées sans démonstration :

  • L'ensemble des éléments inversibles de A est un ouvert.
  • Pour un élément x \in A, son spectre - l'ensemble des complexes λ tels que (λ − x) ne soit pas inversible - est une partie fermée non vide et bornée de \mathbb{C}.
  • Sur son domaine de définition, l'application \lambda\mapsto (\lambda-x)^{-1} est développable en séries entières.

Références

  • DELHEZ, Eric J.-M., Analyse Mathématique, Tome II, Université de Liège, Belgique, juillet 2005, p. 344.
  • Jean Dieudonné, Eléments d'analyse, t. I : Fondements de l'analyse moderne [détail des éditions]
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