Série de Bell

En théorie des nombres, les séries de Bell sont des séries formelles utilisées pour étudier les propriétés des fonctions arithmétiques. Elles ont été introduites et développées par Eric Temple Bell.

Définition

Si f est une fonction arithmétique et p un nombre premier, on définit la série de Bell d'indice p de f :

$f_p(X)=\sum_{n=0}^{\infty} f(p^n)X^n~.$

Propriétés

• Deux fonctions multiplicatives f et g sont égales si (et seulement si) pour tout entier premier p l'on a : f_p(X) = g_p(X).

• Pour deux fonctions arithmétiques f et g,

$f_p(X)g_p(X)=h_p(X)~,$

où h est le produit de convolution de Dirichlet de f et de g.

• Si f est complètement multiplicative, alors :

$f_p(X)=\frac{1}{1-f(p)X}~.$

Exemples

Voici quelques fonctions arithmétiques usuelles et leurs séries de Bell :

• le neutre pour la convolution de Dirichlet, i.e. la fonction caractéristique χ_{1} du singleton {1} : $(\chi_{\{1\}})_p(X)=1~$
• la fonction puissance k-ième I_k (qui est complètement multiplicative) : $(I_k)_p(X)=\frac1{1-p^kX}$
• la fonction de Möbius μ : $\mu_p(X)=1-X~$
• la fonction de Liouville λ : $\lambda_p(X)=\frac1{1+X}$
• la fonction φ d'Euler : $\varphi_p(X)=\frac{1-X}{1-pX}$
• la fonction diviseur σ_k : $(\sigma_k)_p(X)=\frac1{1-\sigma_k(p)X+p^kX^2}$