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Théorème de Bolzano-Weierstrass

En topologie des espaces métriques, le théorème de Bolzano-Weierstrass donne une caractérisation séquentielle des espaces compacts. Il tire son nom des mathématiciens Bernard Bolzano et Karl Weierstrass.

Énoncé du théorème

Un espace métrique (X,d) est compact (au sens de l'axiome de Borel-Lebesgue) si et seulement si toute suite à valeurs dans X admet une valeur d'adhérence dans X.

Démonstration

Sens direct

On suppose que de tout recouvrement ouvert on peut extraire un sous-recouvrement fini.

Soit $\left(x_{n}\right)$ une suite d'éléments de X. Montrons que $\left(x_{n}\right)$ admet une valeur d'adhérence.

Notons $F_{n}=\overline{\left\{ x_{k},k\in\left[n,+\infty\right[\right\} }$ (où $\overline{A}$ désigne l'adhérence de A).

Posons alors $U_{n}=X\setminus F_{n}$. Si la famille $\left(U_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ était un recouvrement de X alors par hypothèse on pourrait en extraire un sous recouvrement fini; or $\left(U_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ est une famille croissante d'ensembles donc $\exists p\in\mathbb{N},U_{p}=X$ mais alors $F_{p}=\emptyset$ ce qui est exclu car $x_{p}\in F_{p}$.

$\left(U_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ n'est donc pas un recouvrement donc $\bigcup_{n=0}^{+\infty}U_{n}\neq X$, donc $\bigcap_{n=0}^{+\infty}F_{n}\neq\emptyset$

Ce qui montre par définition que $\left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ admet une valeur d'adhérence.

Sens réciproque

Dans cette démonstration, on qualifiera de séquentiellement compact un espace métrique dans lequel toute suite admet une valeur d'adhérence.

Premier lemme (nombres de Lebesgue d'un recouvrement)

Si $\left(U_{i}\right)_{i\in I}$ est un recouvrement ouvert d'un espace séquentiellement compact X, alors

$\exists r\in\mathbb{R}_{+}^{*},\forall x\in X,\exists i\in I,\overline{B}\left(x,r\right)\subset U_{i}$

(Où $\overline{B}\left(x,r\right)$ désigne la boule fermée de centre x et de rayon r.)

Démonstration

Par l'absurde. on suppose $\forall r\in\mathbb{R}_{+}^{*},\exists x\in X,\forall i\in I,\overline{B}\left(x,r\right)\cap(X\setminus U_{i})\neq\emptyset$ en particulier $\forall n\in\mathbb{N},\exists x_{n}\in X,\forall i\in I,\overline{B}\left(x_{n},2^{-n}\right)\cap(X\setminus U_{i})\neq\emptyset$ .

X est séquentiellement compact donc il existe une suite extraite $\left(x_{\varphi\left(n\right)}\right)$ de $\left(x_{n}\right)$ convergeant vers $x\in X$.

Comme $\left(U_{i}\right)_{i\in I}$ est un recouvrement de X on a $\exists i_{0}\in I,x\in U_{i_{0}}$ or $U_{i_{0}}$ est un ouvert donc $\exists\varepsilon\in\mathbb{R}_{+}^{*},\overline{B}\left(x,\varepsilon\right)\subset U_{i_{0}}$ or on peut choisir $N_{0}\in\mathbb{N}$ tel que $\forall N\in\mathbb{N},N\geq N_{0}\Rightarrow2^{-N}\leq\frac{\varepsilon}{2}$, comme $\left(x_{\varphi\left(n\right)}\right)$ converge vers x il existe $N\in\mathbb{N}$ tel que $N\geq N_{0}$ et $d\left(x_{\varphi\left(N\right)},x\right)\leq\frac{\varepsilon}{2}$.

Comme $\varphi\left(N\right)\geq N$ on a $\overline{B}\left(x_{\varphi\left(N\right)},2^{-\varphi\left(N\right)}\right)\subset U_{i_{0}}$ ce qui est absurde.

Deuxième lemme (précompacité)

Si X est un espace métrique séquentiellement compact, alors pour tout nombre $r\in\mathbb{R}_{+}^{*}$ il existe une suite finie de points $\displaystyle \left(x_{k}\right)_{k\in\left[\left[0,n\right]\right]}$ de X tel que:$X=\bigcup_{k=0}^{n}\overline{B}\left(x_{k},r\right)$

Démonstration

Par l'absurde. On nie le résultat, puis on construit une suite qui nous permettra de trouver une contradiction.

Soit $x_{0}\in X$ et $r\in\mathbb{R}_{+}^{*}$. On suppose construit les termes $\displaystyle x_{0},x_{1}...x_{n}$ de la suite jusqu'au rang $n\in\mathbb{N}$ tel que $\forall\left(i,j\right)\in\left[\left[0,n\right]\right]^{2},i\neq j\Rightarrow d\left(x_{i},x_{j}\right)\geq r$. Par hypothèse on peut choisir $x_{n+1}\in X$ tel que $x_{n+1}\notin\bigcup_{k=0}^{n}\overline{B}\left(x_{k},r\right)$.

On peut donc construire par récurrence une suite $\left(x_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}$ tel que $\forall\left(i,j\right)\in\mathbb{N}^{2},i\neq j\Rightarrow d\left(x_{i},x_{j}\right)\geq r$ donc $\left(x_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}$ n'admet pas de sous-suite convergente ce qui est en contradiction avec l'hypothèse X est un espace métrique séquentiellement compact.

Fin de la démonstration du théorème

Supposons X séquentiellement compact. Soit $\left(U_{i}\right)_{i\in I}$ un sous recouvrement ouvert de X.

D'après le premier lemme: $\exists r\in\mathbb{R}_{+}^{*},\forall x\in X,\exists i\left(x\right)\in I,\overline{B}\left(x,r\right)\subset U_{i\left(x\right)}$.

D'après le lemme de précompacité, pour ce r donné il existe une suite finie de points $\left(x_{k}\right)_{k\in\left[\left[0,n\right]\right]}$ de X tel que $X=\bigcup_{k=0}^{n}\overline{B}\left(x_{k},r\right)$.

On en déduit donc que la sous-famille $\left(U_{i\left(x_{k}\right)}\right)_{k\in\left[\left[0,n\right]\right]}$ recouvre X.

Énoncé dans le cas réel

De toute suite réelle bornée, on peut extraire une sous-suite convergente.

Pour montrer cette propriété, il suffit de remarquer que les intervalles fermés bornés de $\R$ sont compacts (théorème de Borel-Lebesgue). La même propriété s'applique aux suites bornées complexes, ou plus généralement aux suites bornées de vecteurs dans un espace vectoriel normé de dimension finie.

Démonstration élémentaire

Soit $(x_n)_{n \in \N}$ une suite à valeurs dans un segment [a,b] de $\R$. La démonstration procède en deux temps :

1) Construction de deux suites $(a_n)_{n\in \mathbb{N}}$ (resp. $(b_n)_{n\in \mathbb{N}}$) croissante (resp. décroissante) telles que l'intervalle [a,b] contient une infinité de termes de la suite $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ et que

$\forall n\in\mathbb{N},\ b_n-a_n= \frac{b-a}{2^n}$

2) Construction de la suite extraite.

1) Construction par dichotomie des suites $(a_n)_{n\in \mathbb{N}}$ (resp. $(b_n)_{n\in \mathbb{N}}$)

On définit a₀ par a₀ = a et b₀ par b₀ = b.

Pour tout entier naturel n, si l'intervalle $\left[ a_n , \frac{a_n+b_n}{2} \right]$ contient une infinité de termes de la suite $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$, on pose a_{n + 1} = a_n et $b_{n+1} = \frac{a_n+b_n}{2}$.

Sinon, l'intervalle $\left[ \frac{a_n+b_n}{2},b_n \right]$ contient une infinité de termes de la suite $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$, on pose alors $a_{n+1} = \frac{a_n+b_n}{2}$ et b_{n + 1} = b_n.

On vérifie que ces deux suites ainsi construite sont adjacentes et que l'intervalle [a,b] contient une infinité de termes de la suite $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$.

2) Construction par récurrence de la suite extraite convergente

Cela revient à dire que nous cherchons une fonction $\varphi$ de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}$ strictement croissante, telle que la suite $(x_{\varphi (n)})_{n\in \mathbb{N}}$ soit convergente. Construisons alors la fonction $\varphi\;$ par récurrence.

Posons $\varphi(0)=0$. Pour tout entier n, prenons pour $\varphi(n+1)$ le plus petit entier m strictement supérieur à $\varphi(n)$ tel que $x_m\in \left[ a_{n+1},b_{n+1} \right]$ (cet entier existe puisque $\left[ a_{n+1}\ ,b_{n+1}\ \right]$ contient une infinité de termes de la suite $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$). La fonction $\varphi\;$ est donc bien définie par récurrence et par construction cette fonction est strictement croissante et vérifie la propriété:

$\forall n\in\mathbb{N},\ \forall n_1>n,\ \forall n_2>n,\ |x_{\varphi(n_1)}-x_{\varphi(n_2)}|<\frac{b-a}{2^n}\;$

Cette propriété nous montre que la suite $(x_{\varphi (n)})_{n\in \mathbb{N}} \;$ vérifies le critère de Cauchy, elle est donc convergente vers un réel $\ell$ appartenant à l'intervalle [a,b].

Voir aussi

• Lemme de Cousin

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