Transformation d'Abel

Sommation par parties

La sommation par parties est l'équivalent pour les séries de l'intégration par parties. On l'appelle également transformation d'Abel ou sommation d'Abel.

Méthode

Soient deux suites $(a_n) \,$ et $(b_n) \,$, avec $n \in \N$. On considère la série suivante :
$S_N = \sum_{n=0}^N a_n b_n$

Si on pose $B_n = \sum_{k=0}^n b_k$ ,
alors pour tout n>0, $b_n = B_n - B_{n-1} \,$

$S_N = a_0 b_0 + \sum_{n=1}^N a_n (B_n - B_{n-1})$
$S_N = a_0 b_0 - a_1 B_0 + a_N B_N + \sum_{n=1}^{N-1} B_n (a_n - a_{n+1})$
On obtient finalement l'égalité suivante : $S_N = a_N B_N - \sum_{n=0}^{N-1} B_n (a_{n+1} - a_n)$

Cette opération, qui transforme l'expression de la série à étudier, est utile pour prouver certains critères de convergence de $S_N \,$ .

Similitude avec l'intégration par parties

La formule de l'intégration s'écrit : $\int_a^b f(x) g'(x)\,dx = \left[ f(x) g(x) \right]_{a}^{b} - \int_a^b f'(x) g(x)\,dx$
Si on laisse de côté les conditions aux limites, on s'aperçoit que l'intégration par parties consiste à intégrer une des deux fonctions présentes dans l'intégrale initiale ($g' \,$ devient $g \,$) et à dériver l'autre ($f \,$ devient $f' \,$).

La sommation par parties consiste en une opération analogue dans le domaine discret, puisque l'une des deux séries est sommée ($b_n \,$ devient $B_n \,$) et l'autre est différenciée ($a_n \,$ devient $a_{n+1} - a_n \,$).

On peut considérer la formule sommatoire d'Abel comme une généralisation de ces deux formules.

Applications

On se place par la suite dans le cas où $a_N b_N \rightarrow 0$, car sinon on sait que $(S_N)\,$ est grossièrement divergente.

Si $(B_n) \,$ est bornée par un réel M et que $\sum_{n\ge0}(a_{n+1} - a_n)$ est une série absolument convergente, alors la série $(S_N)\,$ est convergente.

$|S_N| \le |a_N B_N| + \sum_{n=0}^{N-1} |B_n| |a_{n+1}-a_n|$

La somme de la série vérifie par ailleurs l'inégalité : $S = \sum_{n=0}^\infty a_n b_n \le M \sum_{n=0}^\infty |a_{n+1}-a_n|$

Exemples

1. $a_n = \frac{1}{n+1}$ et $b_n = (-1)^n \,$
   $|B_n| \le 1$ et $|a_{n+1}-a_n| = \frac{1}{(n+1)(n+2)} \le \frac{1}{n^2}$
   On sait que la série $\sum_0^\infty \frac{1}{n^2}$ converge (voir fonction zêta de Riemann), donc les conditions exposées ci-dessus sont toutes réunies.
   $S = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ...$ converge.
   NB: Cet exemple peut également être prouvé grâce au critère de convergence des séries alternées.
2. $a_n = \frac{1}{n}$ et $b_n = \sin(n) \,$
   (Nous ne définissons ici la somme qu'à partir du rang n=1 au lieu de n=0, mais cela n'affecte en rien l'existence de la limite de la série.)
   Comme précédemment $\sum_{n=1}^\infty (\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n})$ converge absolument, et $\sum_{k=1}^n \sin(k)$ est bornée d'après l'expression du noyau de Dirichlet.
   Par conséquent $\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(n)}{n}$ converge.
3. La sommation par parties sert dans la preuve du théorème d'Abel.

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