Transformée de Clarke

La transformée de Clarke, est un outil mathématique utilisé en électrotechnique afin de modéliser un système triphasé grâce à un modéle diphasé

Un système triphasé constitué de bobines et de courants déphasés entre eux de $\frac{2\pi}{3}$ permet de créer un champ tournant à la vitesse ω. Un système diphasé constitué de deux bobines perpendiculaires l'une par rapport à l'autre et parcourues par des courants déphasés entre eux de π / 2 permet de créer un champ tournant à la vitesse ω.

Matrice de transformation

Le but est de trouver les valeurs de x_α et x_β à partir de x_a , x_b et x_c. On peut modéliser le champ tournant créé par système triphasé par un système diphasé grâce aux transformations suivantes :

$\begin{bmatrix} x_\alpha\\ x_\beta \end{bmatrix} = C_{23} \begin{bmatrix} x_a\\ x_b\\ x_c \end{bmatrix} \quad et \quad \begin{bmatrix} x_a\\ x_b\\ x_c \end{bmatrix} = C_{32} \begin{bmatrix} x_\alpha\\ x_\beta \end{bmatrix}$

Pour résoudre ce système, l’axe 0_a et 0_α sont choisis parallèle à l’axe des réels. L’axe 0_β est généralement choisi indirect par rapport à l’axe 0_α . Ce n’est qu’une convention qui inverse les signes de la seconde colonne.

Ainsi , $\begin{bmatrix} 0_a\\ 0_b\\ 0_c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\ e^{j\frac{2\pi}{3}}\\ e^{-j\frac{2\pi}{3}} \end{bmatrix} \quad et \quad \begin{bmatrix} 0_{\alpha}\\ 0_{\beta} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\ -j \end{bmatrix}$

Trouver les matrices C₃₂ et C₂₃ revient à résoudre le système matriciel suivant : $\begin{bmatrix} 1\\ -j \end{bmatrix} = C_{23} \begin{bmatrix} 1\\ e^{j\frac{2\pi}{3}}\\ e^{-j\frac{2\pi}{3}} \end{bmatrix} \quad et \quad \begin{bmatrix} 1\\ e^{j\frac{2\pi}{3}}\\ e^{-j\frac{2\pi}{3}} \end{bmatrix} = C_{32} \begin{bmatrix} 1\\ -j \end{bmatrix}$

Ce qui donne : $C_{23} =\frac{2}{3} \begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix} \quad et \quad C_{32} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}$.

Avec $\forall x\quad x_a+x_b+x_c=0$

Il existe aussi une transformation de Concordia qui est la même que celle de Clarke mais qui est normée.

Électrotechnique

Une composante homopolaire x₀ est rajoutée afin de prendre en compte un système déséquilibré. La composante homopolaire est la somme des trois grandeurs divisée par trois dans la théorie des composants symétriques $x_0 =\frac{1}{3}(x_a+x_b+x_c)$.

$\begin{bmatrix} x_a \\ x_b \\ x_c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_\alpha\\ x_\beta \\ x_0 \end{bmatrix}$

Voir aussi

Liens internes

• Transformation des systèmes triphasés
• Transformation de Fortescue

Liens externes

• Transformation des systèmes triphasés Fortescue, Clarke, Park et Ku