Formulaire de développement en série entière

Formulaire de développement en série entière

Ce formulaire de développement en séries entières recense les expressions de développements en série entière pour les fonctions de référence. Elles sont données avec indication du rayon de convergence dans le champ complexe ou réel.

  1. \forall x\in\mathbb{C},\, e^x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}{\frac{x^n}{n!}}.

  2. \forall x\in\mathbb{R},\, \cos 
x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}(-1)^n\,{\frac{x^{2\,n}}{(2\,n)!}}.

  3. \forall x\in\mathbb{R},\, \sin x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}(-1)^n\,{\frac{x^{2\,n+1}}{(2\,n+1)!}}.

  4. \forall x\in\mathbb{R},\, \operatorname{ch}\,x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}{\frac{x^{2\,n}}{(2\,n)!}}.

  5. \forall x\in\mathbb{R},\, \operatorname{sh}\,x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}{\frac{x^{2\,n+1}}{(2\,n+1)!}}.

  6. \forall x\in D(0,1),\, {1\over{1-x}}=\sum_{n=0}^{+{\infty}}{x^n}.

  7. \forall x\in]-1,1],\, \ln (1+x)=\sum_{n=1}^{+{\infty}}(-1)^{n-1}{x^{n}\over{n}}.

  8. \forall x\in[-1,1],\, \operatorname{Arctan} \,x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}(-1)^n\,{\frac{x^{2\,n+1}}{2\,n+1}}\;, et en particulier, \pi=4\,\sum_{n=0}^{+{\infty}}{\frac{(-1)^{n}}{2\,n+1}}.

  9. \forall x\in\,]-1,1[,\ \forall \alpha\,\not\in\, \mathbb{N},\, (1+x)^\alpha \,=1\;+\;\sum_{n=1}^{+{\infty}}{\frac{\alpha\,(\alpha-1)\ldots(\alpha-n+1)}{n!}\,x^n}.

  10. \forall x\in\mathbb{R},\, \forall \alpha\,\in\, \mathbb{N},\, (1+x)^\alpha \,=1\;+\;\sum_{n=1}^{+{\infty}}{\frac{\alpha\,(\alpha-1)\ldots(\alpha-n+1)}{n!}\,x^n}=\sum_{n=0}^{\alpha}{{\alpha \choose n}\, x^n}.

  11. \forall x\in]-1,1[,\, \operatorname{Argth} \,x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}\,{\frac{x^{2\,n+1}}{2\,n+1}}.

  12. \forall x\in]-1,1[,\, \operatorname{Arcsin} \,x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}\,a_n\,{\frac{x^{2\,n+1}}{2\,n+1}} \quad \text{avec}\; a_n=\left\{\begin{matrix} 1, & \mbox{si }n\mbox{ est nul} \\ \left({\frac{\prod_{k=1}^{n}\,(2\,k-1)}{\prod_{k=1}^{n}\,2\,k}}\right), & \mbox{sinon} \end{matrix}\right.

  13. \forall x\in]-1,1[,\, \operatorname{Argsh} \,x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}\,(-1)^n\,a_n\,{\frac{x^{2\,n+1}}{2\,n+1}} \quad \mathrm{avec}\; a_n=\left\{\begin{matrix} 1, & \mbox{si }n\mbox{ est nul} \\ \left({\frac{\prod_{k=1}^{n}\,(2\,k-1)}{\prod_{k=1}^{n}\,2\,k}}\right), & \mbox{sinon} \end{matrix}\right.
    Remarque : on peut aussi écrire a_n={{{2\,n}\choose n}\over{4^n}}={{(2\,n)!}\over{(n!\,2^n)^2}}={1.3\ldots (2\,n-1)\over{2.4\ldots(2\,n)}}

  14. \forall x\in\, \left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[,\, \tan x= \frac{2}{\pi}\, \sum_{n=0}^{+{\infty}}\,{\left({\frac{x}{\pi}}\right)}^{2\,n+1}(2^{2\,n+2}-1)\;\zeta (2\,n+2)\quad \text{avec}\; \forall p>1,\,\zeta(p)=\sum_{n=1}^{+{\infty}}\,\frac{1}{n^p} (fonction zêta de Riemann, dont on connaît, pour tout p entier pair - non nul - une expression explicite sous forme du produit d'un rationnel par une puissance paire de π).

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Formulaire de développement en série entière de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужен реферат?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Développement en série entière — En mathématiques, le développement en série entière d une fonction au voisinage d un point (réel ou complexe) de son domaine de définition est la donnée d une série entière en ce point qui converge simplement vers la fonction sur le voisinage… …   Wikipédia en Français

  • Série entière — Pour les articles homonymes, voir Entier (homonymie). En mathématiques et particulièrement en analyse, une série entière est une série de fonctions de la forme où les coefficients an forment une suite réelle ou complexe. La série est dite entière …   Wikipédia en Français

  • Developpement limite — Développement limité En physique et en mathématiques, un développement limité (noté D.L.) d une fonction f au voisinage d un point, est une approximation polynomiale de cette fonction en ce point, c est à dire l écriture de cette fonction sous la …   Wikipédia en Français

  • Développement Limité — En physique et en mathématiques, un développement limité (noté D.L.) d une fonction f au voisinage d un point, est une approximation polynomiale de cette fonction en ce point, c est à dire l écriture de cette fonction sous la forme de la… …   Wikipédia en Français

  • Développement illimité — Développement limité En physique et en mathématiques, un développement limité (noté D.L.) d une fonction f au voisinage d un point, est une approximation polynomiale de cette fonction en ce point, c est à dire l écriture de cette fonction sous la …   Wikipédia en Français

  • Développement limité — En physique et en mathématiques, un développement limité (noté DL) d une fonction f au voisinage d un point, est une approximation polynomiale de cette fonction en ce point, c est à dire l écriture de cette fonction sous la forme de la… …   Wikipédia en Français

  • Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques — Cette page n est plus mise à jour depuis l arrêt de DumZiBoT. Pour demander sa remise en service, faire une requête sur WP:RBOT Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou… …   Wikipédia en Français

  • Développements Limités — Développement limité En physique et en mathématiques, un développement limité (noté D.L.) d une fonction f au voisinage d un point, est une approximation polynomiale de cette fonction en ce point, c est à dire l écriture de cette fonction sous la …   Wikipédia en Français

  • Développements limités — Développement limité En physique et en mathématiques, un développement limité (noté D.L.) d une fonction f au voisinage d un point, est une approximation polynomiale de cette fonction en ce point, c est à dire l écriture de cette fonction sous la …   Wikipédia en Français

  • Physique — Pour les articles homonymes, voir Physique (homonymie). La physique est une science exacte de la nature. Elle correspond à l étude du monde extérieur et des lois de sa variation et de son évolution dans l espace et dans le temps. La modélisation… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”