Modèle de Klein

une hyperbolique d'ordre 4 dodécahédrale

En mathématiques, et plus précisément en géométrie non-euclidienne, le modèle de Beltrami–Klein, également appelé modèle projectif ou modèle du disque de Klein, est un modèle de géométrie hyperbolique de dimension n dans lequel les points sont représentés par des points à l'intérieur de la boule unité de dimension n, et les droites sont représentés par les cordes de celle-ci. Le terme fait sa première apparition dans les deux mémoires d'Eugenio Beltrami publiés en 1868. Le premier étudie le cas n = 2 et montre l'équiconsistance de la géométrie hyperbolique avec la géométrie euclidienne usuelle^[1],[2]

La relation entre le modèle de Beltrami–Klein et le disque de Poincaré est analogue, en géométrie hyperbolique, aux relations entre la projection gnomonique et la projection stéréographique pour une sphère. En particulier, les premiers préservent les lignes droites là où les seconds préservent les angles. La formule qui les met en relation est similaire.

La distance est donné par la métrique de Cayley–Klein. Celle-ci a d'abord été décrite par Arthur Cayley dans le cadre de la géométrie projective et de la géométrie sphérique. Felix Klein reconnut l'importance de cette distance pour les géométries non euclidiennes et a popularisé le sujet.

Formule de la distance

Arthur Cayley a appliqué le birapport de la géométrie projective à la mesure des angles et des distances en géométrie sphérique^[3]

Par la suite, Felix Klein a réalisé que l'idée de Cayley s'appliquait aux modèles projectifs non euclidiens^[4]. Soient deux points distincts p et q de la sphère unité ouverte, l'unique ligne droite les reliant coupant la sphère unité en deux points a et b tels que les points soient dans l'ordre a, p, q, b. Alors la distance hyperbolique entre p et q s'exprime par :

$d(p,q)=\frac{1}{2} \log \frac{|qa||bp|}{|pa||bq|}$,

où la barre verticale indique la distance euclidienne. Le facteur 1/2 est nécessaire pour que la courbure de Gauss vaille −1.

Relation avec le modèle de l'hyperboloïde

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Le modèle de l'hyperboloïde est un modèle de géométrie hyperbolique dans un espace de Minkowski de dimension (n + 1). La forme bilinéaire de Minkowski (qui n'est pas un produit scalaire) est donnée par :

$\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = x_0 y_0 - x_1 y_1 - \cdots - x_n y_n \,$

et la pseudo-norme par $\|\mathbf{x}\| = \sqrt{\mathbf{x}\cdot\mathbf{x}}$. Le plan hyperbolique est contenu dans l'espace tout comme le vecteur x avec ||x|| = 1 et x₀ positif. La distance intrinsèque (dans le contenu) entre les points u et v est donné par :

$d(\mathbf{u},\mathbf{v}) = \cosh^{-1}(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}).\,$

On peut également écrire cela sous la forme homogène

$d(\mathbf{u},\mathbf{v}) = \cosh^{-1}\left(\frac{\mathbf{u}}{\|\mathbf{u}\|} \cdot \frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}\right)$

qui nous donne la liberté de redimensionner les vecteurs.

Le modèle de Beltrami–Klein est obtenu à partir d'nu hyperboloïde en redimensionnant tous les vecteurs de façon à ce que la pseudo composante de temps soit 1, c'est-à-dire, en projetant l'hyperboloïde depuis son origine sur le plan x₀ = 1. Ceci transforme le plan sur une boule de rayon 1 dont la surface de la boule correspond à l'infini conforme du plan hyperbolique.

Relation avec le modèle du disque de Poincaré

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Références

1. ↑ Eugenio Beltrami, « Saggio di interpretazione della geometria non-euclidea », dans Giornale di Mathematiche, vol. VI, 1868, p. 285–315 
2. ↑ Eugenio Beltrami, « Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante », dans Annali. di Mat., ser II, vol. 2, 1868, p. 232–255 [lien DOI] 
3. ↑ Arthur Cayley, « A Sixth Memoire upon Quantics », dans Philosophical Transactions of the Royal Society of London, vol. 159, 1859, p. 61–91 [lien DOI] 
4. ↑ Felix Klein, Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie, vol. 4, 1871, p. 573–625 

• Luis Santaló (1961), Geometrias no Euclidianas, EUDEBA.
• (en) Saul Stahl, The Poincaré Half-Plane, Jones and Bartlett, 1993