Théorème de Szemerédi

En mathématiques, le théorème de Szemerédi^[1] est la conjecture d'Erdős-Turán démontrée par Endre Szemerédi en 1975.

Énoncé

Soit k un entier positif et 0 < δ ≤ 1/2. Alors il existe un entier $N = N(k,\delta)\,$ tel que pour tout sous-ensemble de {1,...N} d'au moins δN éléments, ce sous-ensemble contienne une progression arithmétique de longueur k.

A l'heure actuelle, on ne sait qu'encadrer la valeur de N, dans le cas général le meilleur encadrement connu est celui-ci :

$C^{\log(1/\delta)^{k-1}} \leq N(k,\delta) \leq 2^{2^{\delta^{-2^{2^{k+9}}}}}$. La borne inférieure est due à Behrend et Rankin (en)^[2], la borne supérieure a été étudiée par Gowers.

Dans le cas où k = 3 nous avons la majoration suivante, due à Bourgain^[3] :

$N(3,\delta) \leq C^{\delta^{-2}\log(1/\delta)}$.

Historique

Le cas k=3 a été démontré en 1956 par Roth. Cependant sa méthode ne se généralisait pas à tous les cas, et il a fallu attendre 1969 pour que Szeremédi démontre le cas k=4. En 1972, Roth étend à son tour sa méthode au cas k=4, et le cas général est finalement démontré par Szeremédi en 1975. Depuis, ce théorème a connu de nombreuses démonstrations faisant appel à divers domaines des mathématiques^[4].

Ce théorème est un cas particulier de la conjecture d'Erdős sur les progressions arithmétiques, dont un autre cas résolu est le théorème de Green-Tao.

Application à la théorie des graphes

En théorie des graphes, ce théorème est souvent utilisé sous la forme suivante, couramment appelée « Lemme de régularité de Szemerédi ».

Soit G un graphe non orienté, X et Y deux sous-ensembles (non nécessairement disjoints). La densité du couple (X,Y) est la quantité suivante :

$d(X,Y) := \frac{\left| E(X,Y) \right|}{\left|X\right|\left|Y\right|}$,

où E(X,Y) désigne l'ensemble des arêtes reliant un sommet de X à un sommet de Y. Pour tout ε > 0, un couple (X,Y) est dit ε-régulier, si pour tous les sous-ensembles A de X et B de Y, tels que$|A| \ge \varepsilon |X|$ et$|B| \ge \varepsilon |Y|$, on a :

$\left| d(X,Y) - d(A,B) \right| \le \varepsilon.$

Le lemme de régularité peut alors s'énoncer ainsi (bien qu'il en existe de nombreuses variantes) :

« Pour tout ε > 0 et tout entier positif m, il existe un entier M tel que si G est un graphe contenant M arêtes, il existe un entier k compris entre m et M tel qu'on puisse faire une k-partition ε-régulière des sommets de G. »

Notes et références

1. ↑ Jean-Paul Thouvenot, « La démonstration de Furstenberg du théorème de Szemerédi sur les progressions arithmétiques », dans Séminaire Bourbaki, n^o 518, 1978, p. 221-232 [texte intégral] 
2. ↑ (en) Robert A. Rankin, « Sets of integers containing not more than a given number of terms in arithmetical progression », dans Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, vol. 65, 1962, p. 332–344 
3. ↑ (en) Jean Bourgain, « On triples in arithmetic progression », dans Geom. Func. Anal., vol. 9, 1999, p. 968–984 
4. ↑ Dans son post du 13/02/2010 (en) sur son blog, Terence Tao n'en recense pas moins de 16