Théorème de la dimension pour les espaces vectoriels

En mathématiques, le théorème de la dimension pour les espaces vectoriels énonce que deux bases quelconques d'un même espace vectoriel ont même cardinalité. Joint au théorème de la base incomplète qui assure l'existence de bases, il permet de définir la dimension d'un espace vectoriel comme le cardinal (fini ou infini) commun à toutes ses bases.

Si l'espace est finiment engendré (c'est-à-dire s'il possède une famille génératrice finie), le théorème donne que ses bases ont toutes le même nombre d'éléments.

Preuve

Soient (a_i )_{i ∈ I} et (b_j )_{j ∈ J} deux familles génératrices de V telles que le cardinal de I soit strictement supérieur à celui de J, nous allons montrer qu'alors, (a_i )_{i ∈ I} est liée. Ceci prouvera que toute famille de cardinal strictement supérieur à celui d'une famille génératrice (en particulier : à celui d'une base) n'est pas une base.

Cas I infini

Chaque b_j peut être écrit sous la forme d'une somme finie

$b_j = \sum_{i\in E_j} \lambda_{i,j} a_i$, où E_j est un sous-ensemble fini de I.

Comme le cardinal de I est strictement plus grand que celui de J et que les E_j sont des sous-ensembles finis de I, le cardinal de I est aussi strictement supérieur à celui de la réunion des E_j quand j parcourt J. (NB : Cet argument est valable seulement pour I infini.) Donc il existe un i₀ ∈ I qui n'apparait dans aucun des E_j. Le a_i0 correspondant peut être exprimé comme une combinaison linéaire finie de b_j, qui à leur tour peuvent être exprimés comme combinaison linéaire finie de a_i, dans lesquelles ne figure pas a_i0. Par conséquent a_i0 est linéairement dépendant des autres a_i.

Cas I fini

L'hypothèse que (a_i )_{i ∈ I} est génératrice n'est pas utile dans ce cas.

Une première méthode est d'utiliser le lemme de Steinitz. En voici une seconde.

Soient m et n les nombres respectifs d'éléments de I et J (par hypothèse, m>n ). Chaque a_i peut être écrit sous la forme d'une somme

$a_i = \sum_{j\in J} \mu_{i,j} b_j~.$

La matrice (μ_i,j )_{i ∈ I , j ∈ J} a n colonnes (la j^e colonne est constituée du m-uplet (μ_i,j )_{i ∈ I} ), donc son rang est au plus égal à n. Par conséquent, ses m lignes sont liées. Notons r_i = (μ_i,j )_{j ∈ J} la i^e ligne, il existe donc des scalaires ν_i non tous nuls tels que la ligne

$\sum_{i\in I} \nu_i r_i$

soit nulle. On en déduit

$\sum_{i\in I} \nu_i a_i = \sum_{i\in I} \nu_i \sum_{j\in J} \mu_{i,j} b_j = \sum_{j\in J} \biggl(\sum_{i\in I} \nu_i\mu_{i,j} \biggr) b_j = 0~,$

ce qui prouve que les a_i sont liés.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Dimension theorem for vector spaces » (voir la liste des auteurs)