Famille Génératrice


Famille Génératrice

Famille génératrice

En algèbre linéaire, une famille génératrice est une famille de vecteurs d'un espace vectoriel dont les combinaisons linéaires permettent de construire tous les autres vecteurs de l'espace.

Définition

Une famille F = ( f_1 , f_2 , \ldots, f_n ) d'éléments d'un K-espace vectoriel E est dite génératrice de E si et seulement si :

\forall x \in E,\ \exists ( \lambda_1 , \lambda _2 , \ldots , \lambda_n ) \in K^n,\ x  = \sum_{k=1}^n \lambda_k  f_k.

On note alors E = \mathrm{Vect}( f_1 , f_2 , \ldots , f_n ).

En bref, une famille \left(v_1,\ldots,v_n\right) est génératrice de E si tous les vecteurs v de l'espace E s'expriment comme combinaisons linéaires des vecteurs v_1,\ldots,v_n.

Si en plus la famille est libre, alors c'est une base de E.

Voir aussi

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