Somme directe

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En mathématiques, et plus précisément en algèbre, le terme de somme directe désigne des ensembles munis de certaines structures, souvent construits à partir du produit cartésien d'autres ensembles du même type.

Somme directe de sous-espaces vectoriels

Somme directe de deux sous-espaces vectoriels

Soient F₁ et F₂ deux sous-espaces vectoriels de l’espace vectoriel E. On dit que F₁ et F₂ sont en somme directe si et seulement si pour tout élément u de F₁ + F₂, il existe un unique couple $\ (u_1 ; u_2)$ de $F_1 \times F_2$ tel que u = u₁ + u₂.

On dit aussi dans ce cas que la somme F₁ + F₂ est directe.

En d'autres termes, la somme de deux sous-espaces vectoriels F₁ et F₂ est directe si la décomposition de tout élément de F₁ + F₂ en somme d'un élément de F₁ et d'un élément de F₂ est unique.

La somme sera alors notée : $F_1 \oplus F_2$.

On dispose des caractérisations usuelles suivantes :

• F₁ et F₂ sont en somme directe si et seulement si, pour tout u₁ de F₁ et u₂ de F₂,

$u_1 + u_2 = 0 \Leftrightarrow u_1 = u_2 = 0$

• F₁ et F₂ sont en somme directe si et seulement si

$F_1 \cap F_2 = \{0\}$

• F₁ et F₂ sont en somme directe si et seulement s'il existe une base de F₁ et une base de F₂ qui, mises bout à bout, forment une famille libre.

Cas de la dimension finie : lorsque F₁ et F₂ sont de dimensions finies, la somme F₁ + F₂ est directe si et seulement si dim F₁ + dim F₂ = dim(F₁ + F₂).

Sous-espaces supplémentaires : deux sous-espaces F₁ et F₂ de E sont dits supplémentaires lorsque $E = F_1 \oplus F_2$. Cela signifie que pour tout élément u de E, il existe un unique couple $\ (u_1 ; u_2)$ de $F_1 \times F_2$ tel que $\ u = u_1 + u_2$.

Article détaillé : Sous-espace supplémentaire.

Somme directe de plusieurs sous-espaces vectoriels

On peut généraliser la notion de somme directe à une famille finie de sous-espaces vectoriels de E.

On dit qu'une famille $(F_i)_{i=1\cdots k}$ de sous-espaces vectoriels de E est en somme directe si et seulement si, pour tout élément u de la somme $F = \sum_{i=1}^k F_i$, il existe un k-uplet unique $(u_1 ;u_2; \cdots ;u_k)$ de $F_1 \times F_2 \times \cdots \times F_k$ tel que $u = \sum_{i=1}^k u_i$.

On dit aussi dans ce cas que la somme F des sous-espaces $(F_i)_{i=1\cdots k}$ est directe.

En d'autres termes, la somme est directe si la décomposition de tout élément de $F = \sum_{i=1}^k F_i$ en somme d'éléments des $F_i\,$ est unique.

Pour désigner une somme directe, on se sert des notations $F_1 \oplus F_2 \oplus \cdots \oplus F_k$ ou $\bigoplus_{i = 1} ^kF_i$.

Comme dans le cas de 2 sous-espaces vectoriels, on peut caractériser les sommes directes par l'unicité de la décomposition du vecteur nul :

La somme $F = \sum_{i=1}^k F_i$ est directe si et seulement si :

l'unique k-uplet $(u_1 ;u_2; \cdots ;u_k)$ de $F_1 \times F_2 \times \cdots \times F_k$ tel que $\sum_{i=1}^k u_i = 0$ est celui dont tous les éléments sont nuls.

Remarque : dès que la famille comprend au moins 3 sous-espaces, il ne suffit pas pour que la somme soit directe que leurs intersections deux à deux soient réduites à $\ \{0\}$, c'est-à-dire que :

$F_i \cap F_j = \{0\}$ pour tout i et pour tout j, i différent de j.

On s’en convaincra en regardant dans $\R^2$ les sous-espaces vectoriels :

$F_1=\{(x ; 0) , x \in \R\}$

$F_2=\{(y ; y) , y \in \R\}$

$F_3=\{(0 ; t) , t \in \R\}$.

Leurs intersections deux à deux sont réduites à {(0 ; 0)}, mais leur somme $\ F = F_ 1 + F_2 + F_3$ (égale à $\ \R^2$) n'est pas directe.

En effet, les 3 vecteurs $u_1=(1 ; 0),\, u_2=(-1 ; -1),\, u_3=(0 ; 1)$ appartiennent respectivement à $F_1,\, F_2,\, F_3$ ; ils sont non nuls, et tels que $\ u_1 + u_2 + u_3= (0 ; 0)$: la décomposition du vecteur nul n'est pas unique.

En revanche, on montre que les sous-espaces de la famille des $\ (F_{i})_{1\leq i\leq n}$ sont en somme directe dans $\ E$ si et seulement si :

• $\ \sum_{i=1}^n F_i = E$
• $\ \forall k \in \left\{ 1,...,n-1\right\}, \ \left(\sum_{i=1}^{k}F_{i}\right)\cap F_{k+1}=\left\{0_{E}\right\}$

Lorsque les sous-espaces vectoriels sont de dimensions finies, on a encore l'équivalence des assertions suivantes :

1. Les $(F_i)_{i=1\cdots k}$ sont en somme directe.
2. $\sum_{i=1}^k \dim F_i = \dim\left(\sum_{i=1}^k F_i\right)$.
3. En concaténant une base $\ \mathcal{B}_1$ de $\ F_1$, ... , une base $\ \mathcal{B}_k$ de $\ F_k$, on constitue une base de la somme.

Exemple : soient E un espace vectoriel sur K de dimension finie, et f un endomorphisme de E ayant exactement p valeurs propres (distinctes) appelées $\lambda_1,\, \dots,\, \lambda_p$. On désigne par $\ \mathrm{Id}$ l'endomorphisme identique de E.

Pour tout entier i tel que 1 ≤ i ≤ p, $E_i = \mathrm{ker}(f - \lambda_i\, \mathrm{Id})$ est le sous-espace propre de f associé à la valeur propre $\ \lambda_i$.
Les deux propriétés suivantes sont classiques :

• La somme $\sum_{i=1}^p E_i$ est directe.
• $\bigoplus_{i = 1}^p E_i = E$si et seulement si f est diagonalisable.

Lorsque c'est le cas, on constitue une base $\ \mathcal{B}$ de E diagonalisant f en concaténant une base $\ \mathcal{B}_1$ de $\ E_1$, ... , une base $\ \mathcal{B}_p$ de $\ E_p$.

Somme directe orthogonale

On désigne ici par E un espace préhilbertien réel ou complexe (espace vectoriel réel ou complexe muni d'un produit scalaire). Soit une famille $(F_i)_{i=1\cdots k}$ de sous-espaces vectoriels de E. S'ils sont deux à deux orthogonaux, leur somme est directe. Elle est alors appelée somme directe orthogonale.

Un exemple très simple est l'espace $F^\perp$ constitué des vecteurs orthogonaux à tous les vecteurs d'un sous-espace vectoriel F : il est en somme directe avec F. L'égalité $E = F^\perp + F$ n'est pas toujours vérifiée lorsque la dimension est infinie. Par contre, elle l'est dès que E est de dimension finie.

Deux espaces qui sont à la fois supplémentaires et orthogonaux sont dits supplémentaires orthogonaux. Un sous-espace vectoriel F de E, même s'il a des supplémentaires, n'en a pas nécessairement un qui lui soit orthogonal. Une condition suffisante est que l'espace F soit complet (ce qui est réalisé en particulier s'il est de dimension finie). Cette question est liée à la possibilité d'effectuer une projection orthogonale.

Lorsque les sous-espaces vectoriels sont de dimensions finies, on a l'équivalence des assertions suivantes :

1. Les $(F_i)_{i=1\cdots k}$ sont en somme directe orthogonale.
2. En concaténant une base orthogonale $\ \mathcal{B}_1$ de $\ F_1$, ... , une base orthogonale $\ \mathcal{B}_k$ de $\ F_k$, on constitue une base orthogonale de la somme.

Somme directe externe et produit cartésien

Lorsque deux sous-espaces F₁, F₂ d'un espace vectoriel E sont en somme directe, l'application suivante est bijective :

$F_1 \times F_2 \to F_1 \oplus F_2, (u_1 ; u_2) \mapsto u_1 + u_2$

Il existe dans ce cas une unique structure d'espace vectoriel sur le produit cartésien $F_1 \times F_2$ telle que cette application soit un isomorphisme d'espaces vectoriels ; la loi interne et la loi externe sont définies respectivement par les relations :

$\ (u_1 ; u_2) + (v_1 ; v_2) = (u_1 + v_1 ; u_2 + v_2)$ et $\alpha \, (u_1 ; u_2) = (\alpha\, u_1 ; \alpha\, u_2)$,

où u₁, v₁ sont dans F₁, u₂, v₂ sont dans F₂, et α est dans K.

Ceci incite, si E₁ et E₂ sont deux espaces vectoriels quelconques sur le même corps K, à définir leur somme directe, dite alors externe.

Somme directe externe de deux K-espaces vectoriels

La somme directe externe de deux K-espaces vectoriels E₁ et E₂ est le produit cartésien $E_1 \times E_2$ sur lequel on définit

• une addition :

$\ (u_1 ; u_2) + (v_1 ; v_2) = (u_1 + v_1 ; u_2 + v_2)$

• une multiplication externe par les éléments de K :

$\alpha \, (u_1 ; u_2) = (\alpha\, u_1 ; \alpha\, u_2)$ (où $\alpha \in K$)

Muni de ces deux lois de composition, l'ensemble $E_1 \times E_2$ est un espace vectoriel sur K.

Dès lors, $\tilde{E_1} = E_1 \times \{0\}$ et $\tilde{E_2} = \{0\} \times E_2$ sont deux sous-espaces de $E_1 \times E_2$, respectivement isomorphes à E₁ et E₂ (on a "plongé" E₁, E₂ dans le produit cartésien) ; la relation $E_1 \times E_2 = \tilde{E_1} \oplus \tilde{E_2}$ justifie l'appellation de somme directe externe.

Lorsque E₁ et E₂ sont de dimensions finies, il en est de même de leur somme directe externe, et :

$\dim(E_1 \times E_2) = \dim E_1 + \dim E_2$

(car $E_1 \times E_2$ est somme directe des deux sous-espaces $\tilde{E_1}$ et $\tilde{E_2}$, qui ont même dimension que $\ E_1$, $\ E_2$ respectivement).

Somme directe externe de plusieurs K-espaces vectoriels

On définit de même la somme directe externe $\ E_1 \times \cdots \times E_k$ de k espaces vectoriels $E_1, \dots, E_k$ sur le même corps K.

Lorsque $E_1, \dots, E_k$ sont de dimensions finies, il en est de même de leur somme directe externe, et :

$\dim(E_1 \times \cdots \times E_k) = \dim E_1 + \cdots + \dim E_k$.

Somme directe externe d'une famille infinie de K-espaces vectoriels

Pour un nombre fini d'espace vectoriels la somme directe externe et le produit direct coïncident. Il n'en est pas de même lorsque la famille est infinie.

En effet, soit $(E_i)_{i\in I}$ une famille (éventuellement infinie) de K-espaces vectoriels. La somme directe externe $\oplus_{i\in I} E_i$ est le sous-espace vectoriel du produit direct $\prod_{i\in I} E_i$ constitué des familles à support fini. La propriété universelle ci-dessous est la raison de ce choix.

On peut, avec cette notion, élégamment définir la somme directe d'une famille infinie de sous-espaces : Une famille de sous-espace de E est en somme directe si et seulement si le morphisme somme qui va de la somme directe externe de ces sous-espaces dans E qui à une famille de vecteurs associe leur somme est injectif.

Remarque à propos d'autres structures algébriques

On définit de manière analogue la somme directe externe d'un nombre fini de groupes additifs, ou d'anneaux, ou de A-modules sur le même anneau A.

Par exemple, si A₁ et A₂ sont deux anneaux, on définit sur $A_1 \times A_2$ deux lois de composition interne :

• une addition :

$\ (a_1 ; a_2) + (b_1 ; b_2) = (a_1 + b_1 ; a_2 + b_2)$

• une multiplication :

$\ (a_1 ; a_2) \cdot (b_1 ; b_2) = (a_1 b_1 ; a_2 b_2)$

Muni de ces deux lois de composition, l'ensemble $A_1 \times A_2$ est un anneau. Même si A₁ et A₂ sont intègres, leur produit cartésien ne l'est pas : a₁, a₂ étant deux éléments non nuls de A₁, A₂ respectivement, on a : $\ (a_1 ; 0) \cdot (0 ; a_2) = (0 ; 0)$.

Propriété universelle de la somme directe

Soit A un anneau ; soit $(M_i)_{i\in I}$ une famille de A-modules, N un A-module ; soit $(f_i : M_i\longrightarrow N)_{i\in I}$ une famille d'applications linéaires.

Alors il existe une unique application $\phi : \bigoplus_{i\in I}^{ext} M_i\longrightarrow N$ A-linéaire telle que : $\forall i\in I$, $\phi \circ q_i = f_i$ avec $\begin{matrix}q_i : & M_i & \longrightarrow & \prod_{k\in I} M_k\\ & x_i & \mapsto & (x_i\delta_{ik})_{i\in I}\\\end{matrix}$ l'injection canonique.

Démonstrations

Par analyse synthèse :

• Supposons qu'un tel ϕ existe. Soit $(x_i)_{i\in I}\in \bigoplus_{i\in I}^{ext} X_i$ ; on a :

$\begin{matrix}q_i : & X_i & \longrightarrow & \bigoplus_{k\in I}^{ext} X_k\\ & x_i & \mapsto & (x_i\delta_{ik})_{i\in I}\\\end{matrix}$ avec δ_ik symbole de Kronecker ; on a : $\phi \circ q_i (x_i) = \phi(0,...,0,x_i,0,...,0) = f_i(x_i)$ et, pour $(n,m)\in I^2$, ϕ((x_n + x_m) = ϕ((x_n,0) + (0,x_m)) = f_n(x_n) + f_m(x_m) par A-linéarité, donc $\phi((x_i)_{i\in I}) = \phi(\sum_{k\in I} x_k\delta_{ik}) = \sum_{i\in I} f_i(x_i)$ ce qui assure l'unicité de ϕ

• Posons donc $\begin{matrix}\phi : & \bigoplus_{i\in I}^{ext} X_i & \longrightarrow & Y\\ & (x_i)_{i\in I} & \mapsto & \sum_{i\in I} f_i(x_i)\\\end{matrix}$ ; les f_i étant linéaires, ϕ est linéaire.

Soit $x_i\in X_i$, on a : $\phi \circ q_i (x_i) = \phi (0,...,0,x_i,0,...,0) = \sum_{k\in I} f_k(x_k) = f_i(x_i)$ ; ainsi nous avons bien $\phi \circ q_i = f_i$, donc ϕ existe bien.

 

En théorie des catégories : le paradigme des catégories linéaires

Article détaillé : Somme (catégorie).

Le concept de somme directe est le coproduit dans la catégorie des espaces vectoriels ; c'est-à-dire, naïvement, que la somme directe consiste à « rassembler » deux espaces vectoriels en un troisième, en limitant leur « télescopage » au strict minimum, à savoir le vecteur nul (de la même façon que la réunion disjointe d'ensembles consiste à rassembler leurs éléments respectifs dans un nouvel ensemble, en évitant de télescoper des éléments identiques s'ils proviennent d'ensembles distincts).

Or, la particularité de ce coproduit est qu'il est isomorphe au produit, ce qui n'est pas le cas dans toutes les catégories. Par exemple, dans la catégorie des ensembles, non seulement le produit (à savoir le produit cartésien) n'est pas isomorphe avec le coproduit qu'est la réunion disjointe ; mais le produit est distributif sur le coproduit, de même qu'en arithmétique élémentaire le produit est distributif sur la somme.

Observant que les catégories présentent généralement l'un ou l'autre aspect — mutuellement exclusifs — le mathématicien William Lawvere propose d'appeler catégories distributives celles dans lesquelles le produit est distributif sur le coproduit (qui, dans ce contexte, peut légitimement prendre le nom de somme), et catégories linéaires celles dans lesquelles, comme en algèbre linéaire, le produit et le coproduit sont isomorphes^[1].

Notes

1. ↑ William Lawvere, « Categories of Space and of Quantity », 1992, p. 16 sq. ; cf. également Conceptual Mathematics, p. 276 sq..

Voir aussi

• Espace vectoriel
• Somme (catégorie)