Combinaison Linéaire


Combinaison Linéaire

Combinaison linéaire

En mathématiques, les combinaisons linéaires sont un concept central de l'algèbre linéaire et d'autres domaines des mathématiques connexes. La majeure partie de cet article traite des combinaisons linéaires dans le contexte d'espace vectoriel sur un corps commutatif, et indique quelques généralisations à la fin de l'article.

Sommaire

Définitions

Supposons que K soit un corps commutatif et E un espace vectoriel sur K. Comme d'habitude nous appelons les éléments de E les vecteurs et les éléments de K les scalaires. Si v_1, \ldots, v_n sont des vecteurs de E et a_1, \ldots, a_n des scalaires, alors la combinaison linéaire de ces vecteurs ayant comme coefficients ces scalaires est:

a_1 v_1+a_2 v_2+\cdots+a_n v_n

Par convention, une combinaison linéaire ne portant sur aucun vecteur est déclarée nulle.

On peut souhaiter parler de combinaison linéaire sur une infinité de termes ; on convient alors que tous les scalaires intervenant soient nuls sauf un nombre fini : (x_i)_{i\in I} étant une famille quelconque de vecteurs de E et (\lambda_i)_{i\in I} une famille de scalaires presque tous nuls (c'est-à-dire tous nuls sauf éventuellement un nombre fini), la combinaison linéaire de la famille (x_i)_{i\in I} de coefficients (\lambda_i)_{i\in I} est la somme suivante:

\sum_{i\in I}\lambda_ix_i

Une relation de dépendance linéaire est une combinaison linéaire égale au vecteur nul. La relation de dépendance linaire triviale est celle donnée par une famille de coefficients tous nuls.

Exemples et contre-exemples

Géométrie analytique

Soit K le corps \mathbb{R} des nombres réels, et soit E l'espace vectoriel euclidien \mathbb{R}^3.

Considérons les vecteurs e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0) et e3 = (0,0,1).

Alors tout vecteur de \mathbb{R}^3 est une combinaison linéaire de e1, e2 et e3.

Pour le démontrer, considérons un vecteur arbitraire (a1,a2,a3) de \mathbb{R}^3, et écrivons:

 ( a_1 , a_2 , a_3) = ( a_1 ,0,0) + (0, a_2 ,0) + (0,0, a_3) \,
 =  a_1 (1,0,0) + a_2 (0,1,0) + a_3 (0,0,1) \,
 =  a_1 e_1 +  a_2 e_2 +  a_3 e_3 \,

Analyse fonctionnelle

Soit K l'ensemble \mathbb{C} de tous les nombres complexes, et soit E l'ensemble \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C}) des fonctions continues de la droite réelle \mathbb{R} dans le plan complexe \mathbb{C}.

Considérons les vecteurs (fonctions) f et g définies par f(t) = eit et g(t) = e it.

(Ici, e désigne la base du logarithme néperien, approximativement égale à 2,71828, et i le nombre imaginaire.

Des combinaisons linéaires de f et g sont:

  •  \cos  = \begin{matrix}\frac12\end{matrix} f + \begin{matrix}\frac12\end{matrix} g \,
  •  2 \sin = (-i ) f + ( i ) g \,

Par contre, la fonction constante 3 n'est pas une combinaison linéaire de f et g. Pour le voir, supposons par l'absurde que 3 puisse être écrite comme combinaison linéaire des fonctions t\mapsto e^{it} et t\mapsto e^{-it}. Cela signifierait qu'il existerait des scalaires complexes a et b tels que pour tout réel t, aeit + be it = 3. En posant t = 0 et t = π, cela donnerait les relations a + b = 3 et a + b = − 3, qui ne pourraient clairement se produire.

Géométrie algébrique

Soit K un corps commutatif quelconque (\mathbb{R} ou \mathbb{C}), et E l'ensemble K[X] des polynômes à coefficients dans le corps K.

Considérons les vecteurs (polynômes) p1 = 1, p2 = X + 1 et p3 = X2 + X + 1.

Le polynôme X2 − 1 est-il combinaison linéaire de p1, p2 et p3 ?

Pour le voir, considérons une combinaison linéaire arbitraire de ces vecteurs et essayons de voir quand est-ce qu'elle est égale à ce vecteur X2 − 1.

Prenons, des coefficients arbitraires a1,a2 et a3. Nous voulons:

 a_1 (1) + a_2 (X + 1) +  a_3 (X^2 +X+ 1) =  X^2 - 1 \,

En distribuant les coefficients sur les polynômes nous obtenons

 ( a_1 ) + ( a_2 X + a_2) + ( a_3 X^2 + a_3 X + a_3) =  X^2 - 1 \,

et regroupons selon les puissance de X, nous obtenons

 a_3 X^2 + ( a_2 + a_3 )X + ( a_1 + a_2 + a_3 ) = 1 X^2 + 0 X + (-1) \,

Deux polynômes sont égaux si et seulement si leurs coefficients correpondants sont égaux, ainsi nous pouvons en déduire que

 a_3 = 1, \quad a_2 + a_3 = 0, \quad a_1 + a_2 + a_3 = -1 \,

Ce système d'équations linéaires peut facilement être résolu.

Tout d'abord, la première équation montre que a3 = 1.

Sachant cela, nous pouvons résoudre la deuxième équation qui donne a2 = − 1.

Finalement, la dernière équation nous indique que a1 vaut aussi − 1.

Réciproquement, l'égalité  X^2 - 1 = -1 - (X + 1) + (X^2 + X + 1) = - p_1 - p_2 + p_3 \, est bien vérifiée. Ainsi X2 − 1 est combinaison linéaire de p1,p2 et p3.

Par conséquent, X2 − 1 s'écrit d'une seule manière possible sous forme d'une combinaison linéaire de p1,p2 et p3.

D'autre part, qu'en est-il du polynôme X3 − 1 ?

Si nous essayons d'écrire ce vecteur comme une combinaison linéaire de p1,p2 et p3, alors en suivant le même raisonnement qu'avant, nous obtenons l'équation:

 0 X^3 + a_3 X^2 + (a_2 + a_3) X + (a_1 + a_2 + a_3) \,
 = 1 X^3 + 0 X^2 + 0 X + (-1) \,

Cependant, lorsque nous traduisons que les coefficients correspondants doivent être égaux dans ce cas-ci, la relation obtenue en considérant X3 devient

 0 = 1 \, qui est contradictoire.

Par conséquent, il n'y a aucune manière pour que ceci soit vrai, ainsi X3 − 1 n'est pas combinaison linéaire de p1,p2 et p3.

Sous-espace vectoriel engendré

Article détaillé : Sous-espace vectoriel engendré.

Considérons un corps commutatif K et un espace vectoriel E arbitraires, et soit v_1, \ldots, v_n des vecteurs de E. Il est intéressant de considérer l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires de ces vecteurs. Cet ensemble s'appelle le « sous-espace vectoriel engendré » (ou juste « sous-espace engendré ») par ces vecteurs, disons par l'ensemble A = \{ v_1, \ldots, v_n\}. Notons {\rm Vect}(v_1 ,\ldots, v_n) ou < A > l'ensemble

 \mathrm{Vect}( v_1 ,\ldots, v_n) = \{ a_1 v_1 + \cdots + a_n v_n / a_1 ,\ldots, a_n \in K \} \,

Autres concepts relatifs

Parfois, un certain vecteur peut être écrit dans deux manières différentes comme combinaison linéaire de v_1, \ldots, v_n. Si cela se produit alors les vecteurs v_1, \ldots, v_n sont linéairement dépendants, et dans le cas contraire, lorsque toute écriture d'un vecteur comme combinaison linéaire de v_1, \ldots, v_n est unique, alors les vecteurs sont linéairement indépendants.

De même, nous pouvons parler de la dépendance ou de l'indépendance linéaire des vecteurs d'un ensemble arbitraire A. Si les vecteurs de A sont linéairement indépendants alors la partie A est dite libre et si de plus le sous-espace vectoriel engendré par A est égal à E alors A est une partie basique de E.

Nous pouvons assimiler les combinaisons linéaires à l'opération la plus générale possible sur un espace vectoriel. Les opérations de base d'addition et de multiplication par un scalaire, ainsi que l'existence d'un élément neutre et d'opposés, ne peuvent pas être combinées de manière plus compliquée qu'en une combinaison linéaire. Finalement, ce fait se trouve au cœur de l'utilité des combinaisons linéaires dans l'étude des espaces de vecteur.

Généralisations

Si E est un espace vectoriel topologique, alors il est possible de donner un sens à une combinaison linéaire infinie, en utilisant la topologie de E. Par exemple, nous pourrions parler de la somme infinie a_1 v_1+a_2 v_2+a_3 v_3+\cdots.

De telles combinaisons linéaires infinies n'ont pas toujours un sens; nous les qualifions de convergentes lorsqu'elles en ont un. Le fait de pouvoir considérer davantage de combinaisons linéaires dans ce cas peut également mener à des concepts plus larges de sous-espace vectoriel engendré, d'indépendance linéaire, et de bases.

Si K est un anneau commutatif au lieu d'être un corps, alors tout ce qui a été dit au-dessus sur les combinaisons linéaires se généralise sans aucun changement. La seule différence est que nous appelons ces espaces E des modules au lieu d'espaces vectoriels.

Si K est un anneau non commutatif, alors la notion de combinaison linéaire se généralise encore, cependant avec une restriction: Puisque les modules sur les anneaux non commutatifs peuvent être des modules à droite ou à gauche, nos combinaisons linéaires peuvent également être écrites à droite ou à gauche, c'est-à-dire avec des scalaires placés à droite ou à gauche, selon la nature du module. C'est simplement une question de multiplication par un scalaire du bon côté.

Une adaptation plus compliquée survient lorsque E est un bimodule sur deux deux anneaux, KG et KD.

Dans ce cas, la combinaison linéaire la plus générale ressemble à:

 a_1 v_1 b_1 + \cdots +  a_n v_n b_n \,

a_1, \ldots, a_n appartiennent à KG, b_1, \ldots, b_n appartiennent à KD, et v_1, \ldots, v_n appartiennent à E.

Voir aussi

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