Colinearite


Colinearite

Colinéarité

En géométrie vectorielle, deux vecteurs \vec u et \vec v sont colinéaires s'il existe un scalaire k tel que  \vec v = k\vec u ou  \vec u = k\vec v.

Étymologiquement, on remarque que colinéaire signifie sur une même ligne. En effet, en géométrie affine, deux vecteurs sont colinéaires si et seulement s'il existe deux représentants de ces vecteurs situés sur une même droite i.e. il existe trois points A, B, C alignés tels que

\overrightarrow{AB} = \vec u et \overrightarrow{AC} = \vec v

La colinéarité est une notion importante en géométrie affine car elle permet de définir

  • l'alignement : les points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont colinéaires.
  • le parallélisme de deux droites : les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} sont colinéaires

On peut remarquer que le vecteur nul est colinéaire à tout autre vecteur de l'espace vectoriel.

Sur l'ensemble des vecteurs non nuls, la relation de colinéarité est

  • réflexive : un vecteur est colinéaire à lui-même
  • symétrique : Si un vecteur \vec u est colinéaire à un vecteur \vec v alors \vec v est colinéaire à \vec u
  • transitive :Si un vecteur \vec u est colinéaire à \vec v et si \vec v est colinéaire à \vec w alors \vec u est colinéaire à \vec w

Ce qui permet de dire que (sur l'ensemble des vecteurs non nuls) la relation de colinéarité est une relation d'équivalence dont les classes d'équivalence forment l'espace projectif associé à l'espace vectoriel

Colinéaires.svg

Montrer la colinéarité de deux vecteurs grâce à leurs coordonnées

Soit \vec u et \vec v deux vecteurs quelconques du plan tel que \vec u\binom{a}{b} et \vec v\binom{a'}{b'} alors: \vec u et \vec v sont colinéaires si et seulement si : a'bab' = 0

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