Bon ordre

Bon ordre

Ensemble bien ordonné

Un ensemble ordonné ( E, ≤ ) est bien ordonné et la relation ≤ est un bon ordre si la condition suivante est satisfaite :

Toute partie non vide de E possède un plus petit élément.

On démontre que tout ensemble bien ordonné est totalement ordonné. En effet, soit (E,\prec) un ensemble bien ordonné, et (x,y)\in E^2. D'après la propriété de bon ordre de E, l'ensemble {x,y} admet un plus petit élément. En d'autres termes : \forall(x,y)\in E^2,\quad x\prec y \text{ ou } y\prec x.

Si de plus l'axiome du choix dépendant est vérifié, cette propriété (être bien ordonné) est équivalente à dire qu'il n'existe pas de suite infinie strictement décroissante. D'après le théorème de Zermelo, l'axiome du choix dans toute sa force équivaut au fait que tout ensemble peut être bien ordonné, et donc peut être rendu isomorphe à un ordinal.

Exemples

  • L'ensemble vide, muni du seul ordre qui y soit possible : ( Ø, Ø ) (c'est le plus petit ordinal).
  • L'ensemble des entiers naturels, muni de l'ordre habituel des entiers : ( \mathbb N, \le_{ \,_\mathbb N} \,) , souvent noté ω dans ce contexte (c'est le plus petit ordinal infini).
  • L'ensemble des nombres rationnels, muni de l'ordre habituel des rationnels : ( \mathbb Q, \le_{ \,_\mathbb Q} \,) , n'est pas bien ordonné. Un autre exemple d'ensemble ordonné qui n'est pas bien ordonné est l'ensemble \ \mathbb R\ des nombres réels.
  • De manière générale, tout ordinal est, par définition, bien ordonné.

Subtilités

Soit ( E, ≤ ) est un ensemble bien ordonné non vide. Il a un plus petit élément, et il a ou n'a pas de plus grand élément : l'ensemble des entiers ω, qui a 0 pour plus petit élément, n'en a pas de plus grand mais rien n'empêche de lui en ajouter un — c'est le tout début d'une construction naïve des ordinaux transfinis. Soit α∈E : si α n'est pas le plus grand élément de E, il existe un plus petit β∈E strictement supérieur à α, appelé successeur de α et noté souvent α+1, dont α est le prédécesseur. Un élément de E a au plus un prédécesseur ; le plus petit élément n'en a évidemment pas et c'est le seul cas pour E=ω, mais en général il y a beaucoup d'éléments de E qui n'en ont pas — c'est ce qui fait le charme des ordinaux transfinis. Pensez, pour avoir une petite idée, au dictionnaire de tous les mots finis construits à partir d'un alphabet fini ou infini bien ordonné. Un élément de E ayant un prédécesseur est dit de première espèce, et de deuxième espèce sinon. Cette distinction est souvent utile pour raisonner par récurrence transfinie.

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Ensemble bien ordonn%C3%A9 ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Bon ordre de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Mettre bon ordre à quelque chose — ● Mettre bon ordre à quelque chose faire cesser le désordre ; remédier à une situation fâcheuse …   Encyclopédie Universelle

  • ordre — [ ɔrdr ] n. m. • 1080 sens II; lat. ordo, ordinis I ♦ (1155) Relation intelligible entre une pluralité de termes. ⇒ organisation, structure; économie. « L idée de la forme se confond avec l idée de l ordre » (A. Cournot). 1 ♦ Didact. Disposition …   Encyclopédie Universelle

  • ordre — ORDRE. s. m. Arrangement, disposition des choses mises en leur rang. Bel ordre. bon ordre. merveilleux ordre. ordre naturel. l ordre que Dieu a mis dans cet univers. l ordre & l enchaisnement des causes. l ordre des mots. l ordre des paroles.… …   Dictionnaire de l'Académie française

  • bon — 1. s. m. 1°   Ce qui est bon. Il a préféré le bon à l utile. •   La France, où les connaissances ont été portées aussi loin que partout ailleurs ; seulement est il à craindre que l on n y prenne à la fin un bizarre mépris du bon devenu trop… …   Dictionnaire de la Langue Française d'Émile Littré

  • ORDRE PUBLIC — L’expression d’ordre public évoque communément l’ordre dans la rue. Cette conception populaire – que Bernanos dénonçait comme «une conception hideuse de l’ordre» – n’est pas totalement inexacte, mais la notion d’ordre public est, juridiquement,… …   Encyclopédie Universelle

  • ordre — Ordre, m. penac. Est disposition par assiete de choses en proportion, convenance et succession entre elles. Ainsi l on dit, Mettre par ordre plusieurs choses, et les ordonner soit par rang d estoc, qu on dit direct et de droit fil, soit branchu,… …   Thresor de la langue françoyse

  • Ordre public — L ordre public est l état social caractérisé par la paix, la sécurité publique et la sûreté. Il est du ressort en France du ministère de l intérieur. En droit administratif français, l ordre public est l état social idéal caractérisé par… …   Wikipédia en Français

  • bon — 1. bon, bonne [ bɔ̃, bɔn ] adj. et adv. • buon Xe; lat. bonus. REM. Le compar. de bon est meilleur; plus... bon peut s employer lorsque les deux mots ne se suivent pas : Plus ou moins bon. Plus il est bon, plus on se moque de lui. En épithète,… …   Encyclopédie Universelle

  • Bon Adrien Jeannot de Moncey — Pour les articles homonymes, voir Jeannot et Moncey. Pour les autres membres de la famille, voir : Claude Marie Joseph Jeannot de Moncey. Bon Adrien Jeannot de Moncey …   Wikipédia en Français

  • ordre — (or dr ) s. m. 1°   Disposition des choses selon des rapports apparents et constants, simples ou complexes. 2°   Ordre de succession, ordre dans lequel on hérite des biens, des dignités, de la couronne d un défunt. 3°   Ordre du jour dans les… …   Dictionnaire de la Langue Française d'Émile Littré

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”