Borne (Mathématiques)

Borne (Mathématiques)

Borne (mathématiques)

Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Borne.

Sommaire

Définition

Dans un ensemble ordonné E, la borne supérieure (resp. borne inférieure) d'une partie majorée (resp. minorée) F de E est, s'il existe, le plus petit (resp. le plus grand) majorant (resp. minorant) de F. Elle est classiquement notée sup(F) (resp. inf(F) ).

Une partie, même majorée, d'un ensemble ordonné ne possède pas nécessairement une borne supérieure ou inférieure.

Propriété de la borne supérieure

Un corps K possède la propriété de la borne supérieure si toute partie non vide et majorée de K possède une borne supérieure.

C'est notamment le cas du corps des réels.


Exemples

  • Toute partie majorée non vide de l'ensemble des nombres réels possède une borne supérieure.
  • La borne supérieure de l'intervalle ]0,1[ est 1.
  • La borne inférieure de l'intervalle ]0,1[ est 0.
  • L'ensemble des nombres rationnels dont le carré est inférieur à 2 est une partie majorée de \mathbb Q qui n'a pas de borne supérieure dans \mathbb Q
  • La partie \mathbb R_- de  \mathbb R ne possède pas de borne inférieure. Toutefois, considéré comme sous-ensemble de la droite achevée \overline{\mathbb R} = \mathbb R \cup \{-\infty,+\infty\} , il admet  -\infty comme borne inférieure.
  • Un treillis est un ensemble ordonné où toute paire possède une borne supérieure et une borne inférieure.

Notions connexes

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Borne (math%C3%A9matiques) ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Borne (Mathématiques) de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Borne (mathématiques) — Pour les articles homonymes, voir Borne. En mathématiques, une borne est une extrémité d un intervalle dans lequel se situent tous les éléments d un ensemble donné ou toutes les valeurs d une fonction donnée. Une borne est un majorant si elle est …   Wikipédia en Français

  • Borne inférieure — Borne (mathématiques) Pour les articles homonymes, voir Borne. Sommaire 1 Définition 2 Propriété de la borne supérieure 3 …   Wikipédia en Français

  • Borne supérieure — Borne (mathématiques) Pour les articles homonymes, voir Borne. Sommaire 1 Définition 2 Propriété de la borne supérieure 3 …   Wikipédia en Français

  • Mathematiques du Sudoku — Mathématiques du Sudoku Grille de Sudoku classique …   Wikipédia en Français

  • Mathématiques Du Sudoku — Grille de Sudoku classique …   Wikipédia en Français

  • Mathématiques du sudoku — Grille de Sudoku classique …   Wikipédia en Français

  • MATHÉMATIQUES (FONDEMENTS DES) — Au sens premier et fort, le mot «fondement» désigne la base, jugée inébranlable, sur laquelle repose un corps d’énoncés, un système de connaissances, un complexe de croyances ou de conduites. «Reposer sur la base» signifie ici «trouver en elle à… …   Encyclopédie Universelle

  • Borné — Borne Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom …   Wikipédia en Français

  • Mathématiques en Mésopotamie — Mathématiques babyloniennes Photographie de la tablette YBC 7289 annotée. Les nombres écrits dans le système babylonien donnent la racine carrée de 2 avec quatre chiffres sexagésimaux significatifs, soit près de six chiffres décimaux : 1 +… …   Wikipédia en Français

  • Mathématiques du Sudoku — Grille de Sudoku classique Variante du Sudoku basée sur des comparaisons entre les cases …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”