Cercles Orthogonaux

Cercles Orthogonaux

Cercles orthogonaux

Sommaire

Cercle orthogonal

Deux cercles sécants dans un plan sont dits orthogonaux si en chacun des deux points d'intersection les tangentes à l'un et à l'autre cercle sont orthogonales. Par raison de symétrie, il suffit que la propriété précédente ait lieu en un des points d'intersection. D'autre part, chaque tangente précitée à l'un des cercles passe par le centre de l'autre.

Cercles orthogonaux.gif

La figure formée par les deux centres O, O' et un des deux points d'intersection est un triangle rectangle. Par le théorème de Pythagore, il en résulte la relation entre les deux rayons et la distance entre les centres : OO' 2 = R 2 + R' 2.

Réciproquement, si deux cercles sont sécants et vérifient cette relation ils sont orthogonaux.

Pour que deux cercles soient orthogonaux, il faut et il suffit qu'il existe un diamètre de l'un d'entre eux qui soit divisé harmoniquement par l'autre. En effet la puissance du point O par rapport au cercle (c') est OA2 = OP' × OQ'. On a donc OP2 = OQ2 = OP' × OQ'.
[P, Q, P', Q'] est une division harmonique d'après la relation de Newton.

Application : étant donné un cercle (c) et un point M, distinct du centre O et n'appartenant pas au cercle, pour trouver les cercles orthogonaux à (c) passant par M, tracer le diamètre [PQ] sur la droite (OM) et trouver le point M' tel que [P, Q, M, M'] soit une division harmonique :
OM' = \frac {R^2}{OM}.
Tout cercle passant par M et M', centré sur la médiatrice de [MM'], est orthogonal à (c).
L'ensemble des cercles passant par M et orthogonaux à (c) est un faisceau de cercles à points de base M et M'.

Cercle orthogonal à trois cercles (de centres non alignés)

C'est le cercle dont le centre O est le centre radical des trois cercles et dont le rayon est égal à la racine de la puissance p du point O par rapport à l'un des trois cercles. Si O est à l'intérieur des cercles, p est négatif, le problème n'a pas de solution dans le plan métrique réel.

Cercle ortho 3 cercles.gif

Faisceaux orthogonaux

Faisceaux orthogonaux.gif

Étant donné deux cercles (c) et (c1) non concentriques, il existe une infinité de cercles (γ) orthogonaux à (c) et (c1), ils sont aussi orthogonaux à tous les cercles du faisceau déterminé par (c) et (c1).

Les cercles (γ) orthogonaux aux cercles (c) d'un faisceau F forment un faisceau Φ conjugué de F. L'axe radical d'un des faisceaux est la droite des centres de l'autre.
Si l'un des faisceaux est formé de cercles tangents, il en est de même de l'autre. Sinon si l'un des faisceaux est à points de base, l'autre est à points limites, et il y a identité entre ces couples de points.

Articles connexes et lien externe

Voir des applications dans "avec GéoPlan" : la géométrie du cercle

  • Portail de la géométrie Portail de la géométrie
Ce document provient de « Cercles orthogonaux ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Cercles Orthogonaux de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Cercles orthogonaux — Sommaire 1 Cercle orthogonal 1.1 Cercle orthogonal à trois cercles (de centres non alignés) 2 Faisceaux orthogonaux 2.1 Articles connexes …   Wikipédia en Français

  • Faisceau De Cercles — Sommaire 1 Définition 2 Faisceau à points de base 3 Faisceau de cercles tangents 4 Faisceau à points limites (ou points de Poncelet) …   Wikipédia en Français

  • Faisceau de cercles — Sommaire 1 Définition 2 Faisceau à points de base 3 Faisceau de cercles tangents 4 Faisceau à points limites (ou points de Poncelet) …   Wikipédia en Français

  • Division Harmonique — (A, B, C, D) est une division harmonique : En géométrie affine quatre points alignés sont en division harmonique quand ils vérifient l égalité des rappo …   Wikipédia en Français

  • Division harmonique — (A, B, C, D) est une division harmonique : En géométrie affine quatre points alignés sont en division harmonique quand ils vérifient l égalité des rapports de mesure algébrique indiquée ci contre. El …   Wikipédia en Français

  • GROUPES (mathématiques) - Groupes classiques et géométrie — Jusque vers 1800, la géométrie dite «élémentaire» est restée à peu de chose près ce qu’elle était dans l’Antiquité, tant dans sa substance que dans ses méthodes (l’invention de la «géométrie analytique» ayant à peu près exclusivement servi à… …   Encyclopédie Universelle

  • Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques — Cette page n est plus mise à jour depuis l arrêt de DumZiBoT. Pour demander sa remise en service, faire une requête sur WP:RBOT Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou… …   Wikipédia en Français

  • Liste des articles de mathematiques — Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou probabilités et statistiques via l un des trois bandeaux suivants  …   Wikipédia en Français

  • Puissance d'un point par rapport a un cercle — Puissance d un point par rapport à un cercle En géométrie euclidienne du plan, la puissance d un point M par rapport à un cercle de centre O et de rayon R est un nombre qui indique la position de M par rapport à ce cercle. Elle peut être définie… …   Wikipédia en Français

  • Puissance d'un point par rapport à un cercle — En géométrie euclidienne du plan, la puissance d un point M par rapport à un cercle de centre O et de rayon R est un nombre qui indique la position de M par rapport à ce cercle. Elle peut être définie comme Sommaire 1 Propriété fondamentale et… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”