Conjecture De Mertens

Conjecture de Mertens

En théorie des nombres, si nous définissons la fonction de Mertens ainsi:

$M(n) = \sum_{1\le k \le n} \mu(k)$

$\mu(k)\,$ étant la fonction de Möbius, alors la conjecture de Mertens énonce que

$\left| M(n) \right| < \sqrt { n }$

Stieltjes prétendit en 1885 que $\frac{M(n)}{\sqrt { n }}$ était compris entre deux bornes constantes, qui selon lui pouvaient être -1 et 1. Mertens à son tour publia un article en 1887 affirmant, calcul de M(10^4) à l'appui, que l'inégalité $\left| M(n) \right| < \sqrt { n }$ lui semblait très probable pour tout n>1.

Or toute inégalité de la forme $\left| M(n) \right| < c \sqrt { n }$, c étant un réel positif, implique l'hypothèse de Riemann.

Plus précisément, l'hypothèse de Riemann est équivalente à

$M(x) = O(x^{1/2+\epsilon}) \,$

pour tout

ε > 0

On démontre le lien avec l'hypothèse de Riemann ainsi:

$\frac{1}{\zeta(z)} = z \int_1^{\infty} \frac{M(x)}{x^{z+1}} dx$

où $\zeta(z)\,$ est la fonction zêta de Riemann. La conjecture de Mertens indiquait que cette intégrale converge pour Re(z) > 1/2, qui dans un sens impliquerait que $\frac{1}{\zeta(z)}$ est définie pour Re(z) > 1/2 et par symétrie pour Re(z) < 1/2. Ainsi, les seuls zéros de $\zeta(z)\,$ vérifieraient Re(z) = 1/2, ce qui est l'énoncé de l'hypothèse de Riemann.

Mais en 1985, Te Riele et Odlyzko ont démontré que la conjecture de Mertens était fausse^[1]. Plus précisément, ils ont démontré que $\frac{M(n)}{\sqrt { n }}$ a des valeurs supérieures à 1,06 et des valeurs inférieures à -1,009. Ils ont également montré qu'il existe au moins un entier inférieur à 3.21×10⁶⁴ réfutant la conjecture.

On ignore toujours si $\frac{M(n)}{\sqrt { n }}$ est bornée, mais Te Riele et Odlizko considèrent qu'il est probable que non.

Notes et références

1. ↑ Article original : « Disproof of the Mertens Conjecture », dans Journal für die reine und angewandte Mathematik, n^o 357, 1985, p. 138-160 [texte intégral] .

Lien externe

• Conjecture de Mertens (en anglais) sur MathWorld

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