Conjecture De Vandiver

Conjecture de Vandiver

La conjecture de Vandiver concerne une propriété des corps de nombres algébriques. Bien qu'attribuée au mathématicien américain Harry Vandiver^[1] (1882 – 1973), la conjecture a été formulée en premier dans une lettre d'Ernst Kummer à Leopold Kronecker.

Soit $K=\mathbb{Q}(\zeta_p)^+$, le sous-corps réel maximal du p-ième corps cyclotomique. La conjecture de Vandiver affirme que p ne divise pas le nombre de classes h_K de K.

Par comparaison, voir l'article sur les nombres premiers réguliers et irréguliers.

Une démonstration de la conjecture de Vandiver constituerait une avancée remarquable en théorie algébrique des nombres. Beaucoup de théorèmes reposent en effet sur la validité de cette conjecture. Par exemple, la conjecture de Vandiver entraîne que le p-rang du groupe de classes d'idéaux de $\mathbb{Q}(\zeta_p)$ est égal au nombre de nombres de Bernoulli divisibles par p (une amélioration remarquable du théorème de Herbrand-Ribet).

La conjecture de Vandiver a été vérifiée pour p inférieur à 12 millions^[2].

Sources

1. ↑ Conjecture attribuée à Harry Vandiver
2. ↑ Conjecture vérifiée pour p < 12 millions

Cet article a été traduit de l'article anglais Vandiver's conjecture, qui incluait des passages de l'article de PlanetMath sous GFDL.

Bibliographie

• (en) Lawrence C. Washington, Introduction to cyclotomic fields [détail des éditions]
• E. Ghate, Vandiver's Conjecture via K-theory, 1999 - un examen du travail par Soulé et Kurihara - (DVI file) http://www.math.tifr.res.in/~eghate/vandiver.dvi

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