Dynamique symbolique

En mathématiques, la dynamique symbolique est une branche de l'étude des systèmes dynamiques. Cela consiste à étudier un système en partitionnant l'espace en un nombre fini de régions et en s'intéressant aux suites possibles de régions traversées lors de l'évolution du système. Si l'on associe à chaque région un symbole, on peut associer à chaque trajectoire une suite (infinie) de symboles, d'où le nom de "dynamique symbolique".

Les trajectoires symboliques ne sont bien sûr qu'une approximation des trajectoires réelles, mais elles peuvent refléter certaines propriétés du système réel comme la transitivité, la récurrence ou l'entropie.

On trouvera une introduction générale au domaine dans ^[1]

Parmi les articles précurseurs, on peut citer ^[2] et ^[3].

Exemples

Un exemple simple illustrant cette approche est la transformation du boulanger. Il s'agit d'un système unidimensionnel modélisant le pétrissage d'une pâte par un boulanger : le boulanger étire la pâte jusqu'à doubler sa longueur, puis la replie sur elle-même pour retrouver la longueur initiale et itère le processus. Cette transformation est souvent évoquée comme exemple de système chaotique car la trajectoire d'une fève placée dans la pâte durant ce processus de pétrissage est sensible aux conditions initiales.

Si l'on identifie la pâte à l'intervalle [0;1], on peut voir cette transformation comme une fonction $T : [0;1]\rightarrow [0;1]$ qui associe à toute position initiale x une position T(x) après une étape de pétrissage.

Si l'on partitionne l'espace du système en deux intervalles $I_0=[0;\frac{1}{2}[$ et $I_1=[\frac{1}{2};1]$, on peut associer à toute orbite $\bigl(T^n(x)\bigr)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite X de 0 et de 1 indiquant à chaque étape dans quel intervalle se trouve la fève si on la placée initialement en position x.

Il n'est pas difficile de voir que dans ce cas, le système symbolique nous renseigne parfaitement sur le système réel : la suite X est en bijection avec le développement binaire du réel x (en inversant le nième chiffre si le nombre de 1 obtenus jusque là est impair). En particulier, la sensibilité aux conditions initiales du système apparaît clairement puisque pour savoir dans quelle moitié de pâte se trouve la fève après n étapes, il faut connaître le nième chiffre du développement binaire de sa position initiale.

La dynamique symbolique ne s'applique pas uniquement à des systèmes aussi élémentaires : en 1898, Hadamard utilise cette approche pour étudier des flots géodésiques sur des surfaces à courbure négative^[4].

Références

1. ↑ Douglas Lind and Brian Marcus, An Introduction to Symbolic Dynamics and Coding
2. ↑ M. Morse and G. A. Hedlund, Symbolic Dynamics, American Journal of Mathematics, 60 (1938) 815-866 (JSTOR)
3. ↑ G. A. Hedlund, Endomorphisms and automorphisms of the shift dynamical system. Math. Systems Theory, Vol. 3, No. 4 (1969) 320-375
4. ↑ Jacques Hadamard ; Les surfaces à courbures opposées et leurs lignes géodésiques, Journal de Mathématiques Pures & Appliquées 4 (1898) 27

Voir aussi

• Systèmes dynamiques
• Théorie du chaos
• Automates cellulaires