Equivalence elementaire

Équivalence élémentaire

En mathématiques, et plus spécifiquement en théorie des modèles, on dit que deux structures pour un même langage formel sont élémentairement équivalentes si leur théories sont les mêmes ; c.à.d que, pour une interprétation donnée, tout énoncé vérifié par l'une des structures est également vérifié par l'autre.

L'équivalence est une notion typiquement logique en ce qu'elle fait intervenir le langage pour définir une relation entre structures. La notion algébrique apparentée est celle d'isomorphisme. Des structures isomorphes sont évidemment élémentairement équivalentes. Le premier exemple exemple ci-après montre en revanche que l'inverse n'est pas vrai. Le théorème de Fraïssé, revu par Ehrenfeucht, donne une définition purement algébrique de l'équivalence élémentaire en termes d'isomorphismes partiels, extensibles par va-et-vient un nombre fini de fois^[1].

Exemples

Soit le langage avec un symbole de relation binaire '<'. Le modèle R des nombres réels et le modèle Q des nombres rationnels sont élémentairement équivalents, car ils transcrivent '<' en un ordre total dense et sans bornes.

Il existe aussi des modèles non standards de la théorie des nombres, qui contiennent des objets autres que les nombres 0, 1, 2, etc. Mais, le langage est le même que celui de la théorie standard des nombres, puisque ces objets supplémentaires ne peuvent être mentionnés. Donc, le modèle standard de la théorie des nombres et ces modèles non standards sont élémentairement équivalents.

1. ↑ Le début du livre "Théorie des modèles" de "Bruno Poizat" est une des meilleures présentations de ce théorème.

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