Forme Bilinéaire Non Dégénérée

Forme bilinéaire non dégénérée

Définitions

Soit E un espace vectoriel sur un corps K. Soit f une forme bilinéaire sur E.

• On appelle espace singulier de f (on dit aussi noyau) le sous-espace vectoriel de E suivant :

$S_g(f) = \{x\in E,\ \forall y\in E,\ f(x,y)=0 \}$

• Lorsque f est symétrique, cette définition est suffisante. Sinon, on est amené à définir comme espace singulier à droite (noyau à droite) l'espace suivant :

$S_d(f) = \{x\in E,\ \forall y\in E,\ f(y,x)=0 \}$

• On dit que f est non dégénérée si et seulement si $S_g(f) = S_d(f) = \{\overrightarrow{0}\}$.

Propriétés

• Pour un vecteur x de E, notons f(x,.) la fonction partielle de f qui à y associe f(x,y). C'est une forme linéaire. De plus, l'application $\hat{f}$ de E dans E ^* (Espace dual de E) qui à x associe f(x,.) est linéaire.

Par construction

$S_g(f) = Ker \hat{f}$

.

• En dimension finie $S_g(f)= \{\overrightarrow{0}\}$ si et seulement si $S_d(f) = \{\overrightarrow{0}\}$.

• Lorsque E est un espace vectoriel réel, toute forme bilinéaire symétrique non dégénérée positive sur E est strictement positive (c'est un produit scalaire).

C'est une conséquence de l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour les formes bilinéaires positives.

Références

• J.M. Arnaudiès et H. Fraysse Cours de mathématiques 4 : Algèbre bilinéaire et géométrie 1990 Dunod

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