Fraction continue d'un nombre quadratique


Fraction continue d'un nombre quadratique
Joseph-Louis Lagrange établit de manière rigoureuse les propriétés des fractions continues des nombres quadratiques.

En mathématiques, et plus précisément en arithmétique, la fraction continue d'un nombre quadratique correspond à la représentation de ce nombre sous la forme suivante :

a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \frac{1}{a_3+\,\cdots}}},\quad \forall i \in  \mathbb N \quad a_i \in \mathbb N

Si le nombre représenté est quadratique, c'est-à-dire s'il n'est pas rationnel mais solution d'une équation du second degré à coefficients rationnels, alors la suite d'entiers (an) est périodique à partir d'un certain rang.

L'intérêt de l'étude de la fraction continue d'un nombre quadratique ne se résume pas à cette anecdote. La simplicité de l'algorithme permettant de déterminer les coefficients de la fraction en ont fait pendant longtemps une méthode d'extraction de racine. La connaissance de la fraction continue permet aussi de résoudre une célèbre équation diophantienne, c'est-à-dire une équation dont les coefficients et les solutions recherchées sont des nombres entiers. Cette équation porte le nom de Pell-Fermat et prend la forme suivante, si n est un entier sans facteur carré.

 x^2 -  n\cdot y^2 = \pm 1\;

Sommaire

Préambule

Introduction par l'exemple

Le calcul de la fraction continue d'un nombre quadratique est relativement aisée, l'identité remarquable (a + b)(a - b) = a2 - b2 est utilisée à chaque étape. L'exemple suivant en est une illustration :

\sqrt{13}=3+(-3+\sqrt{13})=3+\frac{(\sqrt{13}-3)(\sqrt{13}+3)}{\sqrt{13}+3}=3+\frac4{3+\sqrt{13}}=3+\frac1{\frac{\sqrt{13}+3}4}

et

a_0=3,~x_1=\frac{\sqrt{13}+3}4.

Il est possible d'appliquer à nouveau le même algorithme sur x1 :

\frac{\sqrt{13}+3}4=1+\frac{\sqrt{13}-1}4=1+\frac1{\frac{\sqrt{13}+1}3}\quad\text{donc}\quad\sqrt{13}=3+\cfrac1{1+\cfrac1{\frac{\sqrt{13}+1}3}}

et

a_1=1,~x_2=\frac{\sqrt{13}+1}3.

Puis sur x2 :

\frac{\sqrt{13}+1}3=1+\frac1{\frac{\sqrt{13}+2}3}\quad\text{donc}\quad\sqrt{13}=3+\cfrac1{1+\cfrac1{1+\frac1{\frac{\sqrt{13}+2}3}}}\quad\text{et}\quad a_2=1,~x_3=\frac{\sqrt{13}+2}3.

Avec, ensuite :

\frac{\sqrt{13}+2}3=1+\frac1{1+\frac1{6+\frac1{\frac{\sqrt{13}+3}4}}}\quad\text{et}\quad a_3=1,~a_4=1,~a_5=6,~x_5=\frac{\sqrt{13}+3}4.

Le vocabulaire et les notations utilisés ici sont ceux définis dans l'article Fraction continue. Le coefficient d'indice n de la fraction continue correspond au coefficient an utilisé dans l'introduction. La réduite d'indice n désigne la fraction continue tronquée contenant n barres de fraction et construite à l'aide de n + 1 coefficients, elle est notée hn / kn. Le quotient complet est la valeur, noté xn tel que si l'on remplace an-1 par an-1 + 1/ xn dans l'expression de la réduite d'indice n - 1, on obtient exactement le nombre initial. Le quotient complet x0 est la valeur initiale, 13 dans l'exemple choisi.

Le coefficient an correspond à la partie entière du quotient complet xn et le quotient complet xn+1 à l'inverse de la partie fractionnaire de xn. Pour résumer, on obtient :

\sqrt{13}=3+\cfrac1{1+\cfrac1{1+\cfrac1{1+\frac1{1+\frac1{6+\cdots}}}}}\quad{et}\quad\frac{h_0}{k_0}=\frac31,~\frac{h_1}{k_1}=\frac41,~\frac{h_2}{k_2}=\frac72,~\frac{h_3}{k_3}=\frac{11}3,~\frac{h_4}{k_4}=\frac{18}5,~\frac{h_5}{k_5}=\frac{119}{33}.

Cette notation étant un peu lourde, on utilise de préférence la suivante, ayant la même signification :

\sqrt{13}=[3,1,1,1,1,6 \cdots].

Enfin, que le quotient incomplet x5 est égal à x1, ce qui permet de conclure que la suite des coefficients se répète à partir du rang 1. On parle de suite périodique à partir d'un certain rang et on utilise la notation :

\sqrt{13}=[3,\overline{1,1,1,1,6}].

La barre utilisée ici est d'un usage fréquent dans la littérature. Elle signifie une répétition à l'infini de la suite d'entiers couverte par la barre.

Éléments d'histoire

Pierre de Fermat est à l'origine du défi lancé aux mathématiciens qui est à l'origine d'un large développement du savoir sur les fractions continues des nombres quadratiques.

Dès le VIe siècle, Âryabhata (476 - 550), un mathématicien indien, utilise les fractions continues pour obtenir des rationnels proches de racines carrés[1]. Si Brahmagupta (598668) un autre mathématicien indien s'intéresse à l'équation de Pell-Fermat et améliore la méthode dite chakravala pour la résoudre, il faut attendre le XIIe siècle et Bhāskara II pour voir une approche analogue à celles des fractions continues appliquées à cette équation. Son algorithme correspond à celui de l'article à la différence que a0 est défini comme la plus proche valeur entière du nombre à approcher et non celle toujours inférieure. Cette différence est reportée à tous les coefficients an qui peuvent devenir négatifs. Cette spécificité accélère un peu la recherche de la solution.

Ce n'est que plus tard que l'Europe s'intéresse à une démarche de cette nature. Il faut attendre le XVIe siècle pour que Rafael Bombelli fasse usage d'un ancêtre des fractions continues pour le calcul d'approximations de la racine carrée de 13[2]. Pietro Antonio Cataldi comprend la portée de la méthode de Bombelli et l'applique à toutes les racines carrées, dans un petit opuscule à ce sujet[3], il choisit l'exemple de la valeur 18. On retrouve des résultats de même nature chez Albert Girard[4] en 1625, puis 1634, pour approcher 2 et 10.

A la suite d'un défi lancé par Pierre de Fermat en 1657, William Brouncker, trouve de manière empirique les relations qui relient la fraction continue d'un nombre quadratique à l'équation de Pell-Fermat. Il est probable que Bernard Frénicle de Bessy connaissait aussi cette méthode pour résoudre l'équation de Pell-Fermat dont il trouve toutes les solutions pour n plus petit que 150, ces travaux ont été perdus. Il défie Brouncker de trouver une solution à l'équation pour n = 313. Dans sa réponse, il indique qu'il ne lui a pas fallu plus d'une heure ou deux pour la trouver. La réponse est la suivante, pas nécessairement immédiate à calculer manuellement :

x= 32\,188\,120\,829\,134\,849 \quad \text{et} \quad y = 1\,819\,380\,158\,564\,160\;

Ces informations proviennent d'une intense relation épistolaire entre les différents acteurs, qui est finalement[5] publié par John Wallis en 1658.

Le siècle suivant est celui des preuves. Leonhard Euler reprend les travaux de Brouncker et ceux de Wallis, et démontre rigoureusement tous les aspects un peu élémentaires de la théorie, il montre aussi que si la représentation en fraction continue d'un nombre est périodique, à partir d'un certain rang, alors ce nombre est quadratique[6]. Il faut encore attendre les travaux de Joseph-Louis Lagrange pour la démonstration d'une réciproque ainsi que des raisons de la validité de la méthode Bhāskara II ou de celle de Brouncker[7]. Les propriétés de la fraction continue d'un nombre quadratique sont alors essentiellement élucidées, il ne reste plus qu'à comprendre dans quel cas une fraction continue n'est pas simplement périodique à partir d'un certain rang, mais périodique pure, ce qui est l'œuvre[8] d'Evariste Galois (1811 - 1832).

Première propriété

Le calcul pratique d'une fraction continue d'un nombre quadratique est simple. Une est raison est une conséquence de la propriété :

  • Les quotients complets d'un nombre quadratique sont quadratiques.

Une manière de caractériser un nombre quadratique x est de trouver une racine d d'un entier sans carré parfait et deux rationnels a et b tel que x soit égal à a + b.d. Cette condition est nécessaire et suffisante. L'aspect nécessaire se déduit de la méthode de résolution d'une équation du second degré à l'aide du discriminant. Réciproquement, on peut remarquer que x est solution de l'équation, s'il est quadratique :

x^2 + 2ax + a^2 - db^2=0\;

Si, dans sa décomposition en facteurs premiers d ne contient que des puissances paires, le nombre d est rationnel et x n'est pas quadratique mais rationnel, s'il en contient quelques uns, il est toujours possible de les extraire de la racine carrée et adjoindre ces facteurs au rationnel b.

La propriété énoncée se démontre par récurrence. À l'ordre 1, le quotient complet est la différence d'un entier et d'un nombre quadratique, il est donc quadratique. Supposons la propriété vraie à l'ordre n et montrons là à l'ordre suivant. xn est un nombre quadratique, en conséquence an+1 - xn est aussi un nombre quadratique. Notons le a + b.d, la transformation suivante montre que (a + b.d'')-1, égal au quotient complet d'indice n + 1 est aussi quadratique :

\frac 1{a + b \sqrt d} = \frac {a - b \sqrt d}{(a + b \sqrt d)(a - b \sqrt d)} = \frac a{a^2 - d b^2} + \frac a{a^2 - d b^2}\cdot \sqrt d

On remarque l'expression au dénominateur ne peut être nulle. Si elle l'était, la racine de d serait un rationnel et d ne pourrait être un entier sans facteur carré. Cette première propriété simplifie la recherche de l'expression d'un nombre quadratique sous forme de fraction continue, le calcul de l'inverse d'un nombre quadratique est simple. L'usage de l'identité remarquable : (a + b)(a - b) = a2 - b2 est en conséquence fréquente.

Période

Une autre propriété simplifie la détermination d'un nombre quadratique sous forme de fraction continue :

  • Un irrationnel x possède un développement en fraction continue périodique à partir d'un certain rang si et seulement si x est solution d'une équation du second degré à coefficients rationnels.

Si le développement de x est périodique à partir du rang p alors il existe un entier n tel que l'égalité suivante soit vérifiée. Ce qui justifie la notation, déjà utilisée dans le préambule :

x =[a_0, a_1,\cdots, a_{p-1}, a_p,\cdots a_n,a_p, a_{p+1}\cdots \;] =[a_0, a_1,\cdots, a_{p-1},\overline{a_p, a_{p+1},\cdots a_n}]\;

Cette proposition est au cœur de l'intérêt de la notion de fraction continue pour les nombres quadratiques. Autant il est relativement simple de montrer qu'un nombre ayant une fraction continue périodique à partir d'un certain rang est nécessairement quadratique, autant la réciproque est un peu plus délicate. Sa preuve date de plus d'un siècle après la découverte de cette propriété et est l'œuvre de Lagrange. La démonstration présentée ici[9] est relativement proche de l'originale[10].

Palindrome

Il est possible d'aller un peu plus loin sur les propriétés de la fraction continue d'un nombre quadratique. Certains nombres possèdent un développement purement périodique. c'est le cas, par exemple, du nombre d'or. En effet, un rapide calcul montre, si φ désigne le nombre d'or :

\varphi = 1 + \frac 1{\varphi} = 1 + \frac 1{1 + \frac 1{\varphi}} = \cdots \quad\text{et}\quad \varphi = [1,1,1,\cdots] = [\overline{1}]

La question se pose de savoir dans quel cas le développement en fraction continue est périodique pur, c'est-à-dire quelle condition rend le développement périodique dès le premier terme. Le nombre x est nécessairement un nombre quadratique. La réponse s'exprime en fonction de xc, l'autre racine du polynôme annulant x. Le nombre xc est souvent appelé conjugué de x, par analogie avec la situation où les racines sont complexes. Cette démonstration est l'œuvre d'Evariste Galois.

  • Le développement de x est purement périodique si et seulement si x est strictement plus grand que 1 et xc, le conjugué de x est compris entre -1 et 0.[9]

Cette propriété permet d'obtenir une description plus précise du développement en fraction continue d'une racine d'un entier non carré parfait :

  • Si x est la racine carrée d'un entier sans facteur carré, sa fraction continue prend la forme suivante :
x = [a_0, \overline{a_1, a_2, a_3 \cdots a_3,a_2,a_1, 2a_0}]\;

Si l'on élimine le dernier terme 2a0 la période est symétrique et forme un palindrome. La partie symétrique pouvant ou non avoir un terme médian.

Les démonstrations utilisent les techniques de l'arithmétique. Il en existe de plusieurs natures. Les plus simples sont présentées dans l'article Méthode chakravala. La démonstration historique, présentée ici, utilise d'autres techniques liées aux propriétés des formes quadratiques à coefficients entiers[9].

Équation de Pell-Fermat

Structure de la solution

La fraction continue est une technique à la fois théorique et pratique pour résoudre l'équation de Pell-Fermat suivante, si p est un entier sans facteur carré :

(1)\quad x^2 - p\cdot y^2 = \pm 1

Une solution est un couple (a, b) d'entiers tel que a2 - p.b2 soit égal à plus ou moins un. Pour plus de simplicité dans les énoncées, ne sont considérées que les solutions dont les deux valeurs sont strictement positives. À part les solutions triviales (1, 0) et (-1, 0) toutes les autres se déduisent par multiplication ou non des deux termes a et b par -1. Trois propositions permettent de comprendre comment se structurent les solutions.

  • Si (a, b) est un couple solution de l'équation (1), il existe un indice n tel que (hn, kn) soit égal au couple solution. Ici hn et kn désigne le numérateur et le dénominateur de la réduite de rang n de la valeur p.

Autrement dit, toutes les solutions de l'équation se trouvent dans la suite des réduites de la fraction continue de p.

Pour aller plus loin, il est nécessaire d'analyser la fraction continue de p. Elle est de la forme, d'après le paragraphe précédent :

 \sqrt p = [a_0,\overline{a_1,a_2,\cdots , a_2,{\color{Red}a_1},2a_0}]

Notons k l'indice du coefficient a1 qui se situe juste avant le coefficient 2a0, c'est-à-dire celui en rouge dans l'expression précédente. Cela signifie que la période de la fraction continue est égale à k + 1.

  • Un indice n correspond à une solution de l'équation (1) si, et seulement si, soit n est égal à k, soit il existe un entier positif q tel que n = k + q.(k + 1).

Ce qui signifie que les indices solutions sont ceux qui correspondent aux coefficients de valeur égale à a1, qui se situe exactement avant le coefficient de valeur égale à 2.a0. Il en existe exactement un par période.

  • Si k est pair, il existe des solutions pour la valeur -1, elles correspondent aux indices k et k + 2q.(k + 1), les autres indices donne la valeur 1. Si k est impair, la valeur -1 n'est jamais atteinte.

Une autre manière d'énoncer cette proposition est de dire que la valeur -1 est atteinte si, et seulement si, la période est impaire, elle est alors atteinte une fois sur deux et la première solution est négative.

Groupe des unités

En théorie algébrique des nombres, il est parfois important de connaître la structure du groupe des unités d'un anneau d'entiers algébriques. Cette situation se produit en particulier pour les anneau d'entiers quadratiques. La compréhension de cette structure est utile, par exemple, de démontrer le dernier théorème de Fermat pour n = 3 ou 5, ou pour établir la loi d'apparition des nombres premiers dans la suite de Fibonacci (cf Entier du corps quadratique Q[5]).

On est amené à trouver les éléments inversible de l'anneau Z[ω] qui sont de la forme a + b.ω ou ω est un entier quadratique et a et b des éléments de Z. On montre que cela revient à résoudre une des deux équations diophantiennes suivantes, où d est un entier positif non carré parfait et f un entier positif tel que 4.f + 1 n'est pas un carré parfait :

(1)\; x^2 + dy^2 = \pm 1\quad (2)\;x^2 + xy -fy^2 = \pm 1 \;

La première a déjà été étudiée, la deuxième est très similaire. On dispose par exemple de la propriété suivante :

  • Si le couple (a, b) est solution de l'équation (2), alors a / b est une réduite de l'entier quadratiquec défini par :
\omega = \frac 12 (1 + \sqrt {4f + 1}) \quad\text{et}\quad -\omega_c = \frac 12 (\sqrt {4f + 1} - 1)

La notation un peu étrange de -ωc pour indiquer l'entier quadratique approché provient du fait que ω est l'entier quadratique qui définit l'anneau Z[ω], ici le signe c en indice indique la valeur conjuguée. L'origine de ces formules est indiquée dans l'article entier quadratique.

Un calcul strictement analogue montre que l'avant dernier terme de la période de la fraction continue correspond aussi à la réduite recherchée.

Extraction d'une racine carrée

Première méthode

Les propriétés de la fraction continue d'un nombre quadratique permettent de calculer des approximations des racines carrées. La première technique consiste simplement à calculer les coefficients de la fraction continue puis ses réduites. Si l'on cherche la racine de 3, on trouve dans un premier temps :

\sqrt 3 = 1 + (\sqrt 3 - 1) = 1 + \frac {(\sqrt 3 - 1)(\sqrt 3 + 1)}{\sqrt 3 + 1} = 1 + \frac 1{\frac {\sqrt 3 + 1}2} = 1 + \frac 1{1 + \frac {\sqrt 3 - 1}2} = 1 + \frac 1{1 + \frac 1{\sqrt 3 + 1}} = 1 + \frac 1{1 + \frac 1{ 2 + \sqrt 3 - 1}}

Le quotient complet (3 - 1)-1 égal à (3 + 1)/2 a déjà été développé en fraction continue, on en déduit l'expression :

\sqrt 3 = [1,1,2,1,2,\cdots] = [1,\overline{1,2}]

Les réduites se calculent par des formules de récurrences, étudiées dans l'article Fraction continue. Si hn / kn sont ces réduites :

h_{n+2} = a_{n+2}h_{n+1} + h_n \quad \text{et}\quad k_{n+2} = a_{n+2}k_{n+1} + k_n\;

Ce qui donne les approximations suivantes de la racine de trois :

\begin{align}
h_0 &= 1,& h_1 &=2,&h_2 &= 2 \times 2 + 1 = 5,&h_3 &= 1 \times 5 + 2 = 7,&h_4 &= 19, & h_5 &= 26, &\cdots \, h_{10} &= 989\\
k_0 &= 1,&k_1 &=1,&k_2 &= 2 \times 1 + 1 = 3,&k_3 &= 1 \times 3 + 1 = 4,&k_4 &= 11, & k_5 &= 15, &\cdots \, k_{10} &= 571
\end{align}

Ainsi, à la 1e étape, on obtient la fraction 989 / 571, approximativement égale à 1,732 049 alors que les 7 premiers chiffres significatifs exacts sont 1,732 051. La précision de cet algorithme à l'étape n est meilleure que 1/(2kn2) d'après les calculs précédents. Pour l'approximation d'indice 10, on sait donc que l'erreur est inférieure à 1/(2x5712) meilleure que le 600 000e. Une force de cet algorithme est la qualité des solutions proposées, au sens où toute fraction de type a/b avec b strictement inférieur à 571 sera nécessairement moins bonne que la dixième réduite de la fraction continue. Par exemple, la meilleure approximation décimale de la racine de trois avec deux chiffres significatif, égale à 17/10, commet une erreur supérieur au 50e. Celle un peu équivalente 19/11 correspondant à la réduite d'indice 4 propose une approximation au 200e, soit quatre fois meilleure. Cette propriété est démontrée dans l'article Fraction continue et approximation diophantienne.

Accélération violente

L'étude de l'équation de Pell-Fermat permet d'imaginer un algorithme dont la convergence est beaucoup plus rapide. Étudions le cas général. La réduite d'indice n est solution de l'équation de Pell-Fermat suivante si n + 1 est la période de la fraction continue associée à la racine de d, un entier non carré parfait :

x^2 - dy^2 =\pm 1\;

L'égalité suivante montre, qu'à partir d'une solution (hn, kn), il est possible d'en construire une nouvelle, en considérant le carré de l'équation :

(h_n^2 - d k_n^2)^2 = 1 = (h_n - \sqrt d k_n)^2(h_n + \sqrt d k_n)^2 = (h_n^2 + dk_n^2 - \sqrt d\cdot 2h_nk_n)(h_n^2 + d k_n^2 + \sqrt d\cdot 2h_nk_n)

En appliquant à nouveau l'identité remarquable traitant de (a - b)(a + b), on obtient :

(h_n^2 + dk_n^2)^2 - d(2h_nk_n)^2 = 1

Si l'on note uj et vj le numérateur et le dénominateur de cette suite, elle est définie par récurrence :

u_1 = h_n,\quad u_{j+1} = u_j^2 + dv_j^2 \quad\text{et}\quad v_1= k_n,\quad v_{j+1} = 2u_jv_j

L'application au cas de la racine de 3 donne pour première valeur 2/1, en effet, 22 - 3 x 12 = 1 est bien la première solution non triviale, on trouve ensuite :

\begin{align}
u_1 &= 2,&u_2 &= 2^2 + 3\times 1^2 = 7,&u_3 &= 7^2 + 3\times 4^2 = 97,&u_4 &= 97^2 + 3\times 56^2 = 18\,817,&u_5 &= 708\,158\,977 \\
v_1 &= 1,&v_2 &= 2\times 2\times 1 = 4,&v_3 &= 2\times 7\times 4 = 56,&v_4 &= 2\times 97\times 56 = 10\,864,&v_5 &= 408\, 855\,776 \end{align}

Il n'existe peu d'applications nécessitant d'aller au-delà de l'étape 5, la précision de u5 / v5 dépasse déjà 20 décimales. Tous ces couples de numérateurs et dénominateurs sont des solutions de l'équation de Pell-Fermat, la théorie indique que ce sont des réduites de la fraction continue de la valeur recherchée, ici la racine de trois. En conséquence, la précision est toujours meilleure que l'inverse du double du carré du dénominateur.

Un exemple historique de résolution de l'équation de Pell Fermat

L'équation suivante possède une longue histoire :

x^2 - 61\cdot y^2 = 1 \;

Brahmagupta[11] l'utilise comme illustration d'un ancêtre de la méthode chakravala dès le VIe siècle. À cette époque, les nombres négatifs n'étaient pas considérés. Il est repris par Bhāskara II qui perfectionne la méthode[12] et lui donne une puissance algorithmique un peu supérieure à celle par les fractions continues, présenté ici.

Le 3 janvier 1658, l'exemple est encore repris par Pierre de Fermat, qui en fait un défi lancé aux mathématiciens de toute l'Europe[13]. Fermat conclut par « si elle n'est fournie ni par l'Angleterre, ni par la Gaule Belgique ou Celtique, elle le sera par la Narbonnaise[14] ». Ce défi est à l'origine des travaux anglais sur les fractions continues des nombres quadratiques et leur connexion avec l'équation de Pell Fermat.

Appliquons l'algorithme des fractions continues pour calculer les coefficients et les quotients complets :

\sqrt{61}=7+\frac1{\frac{7+\sqrt{61}}{12}},\quad\frac{7+\sqrt{61}}{12}=1+\frac1{\frac{5+\sqrt{61}}3},\quad\frac{5+\sqrt{61}}3=4+\cfrac1{\frac{7+\sqrt{61}}4},\quad\frac{7+\sqrt{61}}4=3+\frac1{\frac{5+\sqrt{61}}9}.

Ce qui donne les premiers coefficients : 7, 1, 4, 3. On continue avec :

\frac{5+\sqrt{61}}9=1+\cfrac1{\frac{4+\sqrt{61}}5},\quad\frac{4+\sqrt{61}}5=2+\frac1{\frac{6+\sqrt{61}}5}.

On dispose maintenant de la section commençante 7, 1, 4, 3, 1, 2. Il n'est plus nécessaire de continuer. On remarque que les quotients complets x5 et x6 sont associés ce qui se remarque au fait qu'ils ont le même dénominateur. La moitié du palindrome est déjà explicitée. Comme ce phénomène se produit pour deux indices adjacents, on peut en déduire que la période est impaire et égale à 2 x 5 + 1. On peut aussi en déduire que a6 est égal à a5, ainsi que les termes suivants : 2, 1, 3, 4, 1. Enfin, le dernier terme est égal au double du premier, soit 14. Le premier candidat à la solution est donc celui mise en valeur en rouge dans l'expression suivante :

\sqrt{61}=[7,\overline{1,4,3,1,2,2,1,3,4,{\color{Red}1},14}].

On sait que la fraction réduite d'indice 10, appliquée à l'équation du paragraphe donne 1 en valeur absolue. Pour la calculer, le plus simple est de commencer par utiliser les relations de récurrences (cf l'article Fraction continue). Si hn / kn désigne la réduite d'indice n et an le coefficient d'indice n, on dispose des formules :

h_{n+2} = a_{n+2}h_{n+1} + h_n \quad \text{et}\quad h_{n+2} = a_{n+2}h_{n+1} + h_n\;

En remarquant que la première et la deuxième réduite sont égales à 7/1 et 8/1, on obtient :

\begin{align}
h_2 &= 4 \times 8 + 7 = 39,&h_3 &= 3 \times 39 + 7 = 125,&h_4 &= 164, & h_5 &= 453, & h_6 &= 1\,070, &\cdots \, h_{10} &= 29\;718\\
h_2 &= 4 \times 1 + 1 = 5 ,&k_3 &= 3  \times 5 + 1 = 16,&k_4 &= 21,  & k_5 &= 58,  & k_6 &= 137,    &\cdots \, k_{10} &= 3\;805
\end{align}.

Cependant, comme l'indice de la réduite calculée est pair, la solution associée à l'équation du paragraphe est de signe négatif, ce qui se vérifie aisément :

29\,718^2 - 61\times 3\,805^2 = 883\,159\,524 - 883\,159\,525 = -1

Ni Brahmagupta, ni Fermat n'acceptent ce type de solution. La bonne réduite est donc la 21e. Pour la calculer, on peut soit prolonger le calcul, soit utiliser le même principe que celui de la deuxième méthode d'extraction d'une racine :

(h_{10}^2 + 61\cdot k_{10}^2)^2 - 61\cdot (2h_{10}k_{10})^2 = 1

L'article équation de Pell-Fermat montre que cette formule donne exactement la solution associée à la 21e réduite de la fraction continue. La solution du défi de Fermat est :

h_{21} = 1\,766\,319\,049,\quad k_{21} = 226\,153\,980\quad\text{et}\quad 1\,766\,319\,049^2 - 61\times 226\,153\,980^2 = 1

Notes et références

  1. Georges Ifrah, Histoire universelle des chiffres : L'intelligence des hommes racontée par les nombres et le calcul, Robert Laffont, 1994 (ISBN 978-2-70284212-6)
  2. (it) M. T. Rivolo et A. Simi, Il calcolo delle radici quadrate e cubiche in Italia da Fibonacci a Bombelli, Arch. Hist. Exact Sci. 52 (2), 1998, p. 161-193
  3. (it) S. Maracchia, Estrazione di radice quadrata secondo Cataldi, Archimede 28 (2), 1976, p. 124-127
  4. (en) Leonard Eugene Dickson, Diophantine analysis, AMS Bookstore, 1999 (ISBN 0821819356), p. 355-356
  5. (la) John Wallis, Commercium epistolicum de quæstionibus quibusdam mathematicis nuper habitum Oxonii : Excudebat A. Lichfield, Impensis Tho. Robinson, 1658
  6. (la) Leonhard Euler, Introductio in analysin infinitorum, 1748, Vol. I, chap. 18
  7. Ces résultats sont publiés dans : Leonhard Euler et Joseph-Louis Lagrange, Eléments d'algèbre, Lyon, Bruyset et Paris, Desaint, 1774. Le livre contient une centaine de pages nommées Additions par Lagrange et rééditées dans : Joseph-Alfred Serret, Œuvres de Lagrange, vol. VII, Gauthier-Villars, 1877 [lire en ligne], p. 5-180 
  8. Evariste Galois annonce le résultat suivant « Si une des racines d’une équation de degré quelconque est une fraction immédiatement périodique, cette équation aura nécessairement une autre racine également périodique que l’on obtiendra en divisant l’unité négative par cette même fraction continue périodique écrite dans un ordre inverse. » (p. 63 du diaporama de la conférence Ces étranges fractions qui n'en finissent pas donnée à l’IREM de La Réunion, en octobre 2005, par Claude Brezinski).
  9. a, b et c Les démonstrations proposées ici s'inspirent de Développement d’un réel en fractions continues, par M. Couchouron, de l'université de Rennes I
  10. Joseph-Louis Lagrange, Solution d'un Problème d'arithmétique, dans la réédition par Serret des Œuvres de Lagrange.
  11. (en) B. L. van der Waerden, Pell's Equation in Greek and Hindu Mathematics, Russ. Math Surveys 31 (5), 1976, p. 210-225
  12. Bhāskara II, Bijaganita, 1150, d'après (en) John J. O’Connor et Edmund F. Robertson, « Pell's equation », dans MacTutor History of Mathematics archive, université de St Andrews [lire en ligne] .
  13. Laurent Hua et Jean Rousseau, Fermat a-t-il démontré son grand théorème ? l'hypothèse "Pascal", L'Harmattan, 2002 (ISBN 978-2-74752836-8), p. 113
  14. Voir à ce sujet la page Pierre de Fermat sur le site de la commune de Beaumont-de-Lomagne.

Bibliographie


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Fraction continue d'un nombre quadratique de Wikipédia en français (auteurs)

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