Idéal différent

Différente

En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des nombres pour mesurer l'éventuel défaut de dualité d'une application définie à l'aide de la trace, dans l'anneau des entiers d'un corps de nombres algébriques $\mathbb{K}\,$.

Si O_K est l'anneau des entiers de $\mathbb{K}\,$ et tr désigne la trace du corps de $\mathbb{K}\,$ vers le corps de nombres rationnels $\mathbb{Q}\,$, alors

$tr(xy)\,$

est une forme quadratique entière sur O_K. Son discriminant comme forme quadratique n'est pas forcément +1 (en fait ceci arrive seulement pour le cas $\mathbb{K} = \mathbb{Q}\,$. En définissant l'idéal fractionnaire I de $\mathbb{K}\,$ comme l'ensemble des $x \in \mathbb{K}\,$ tels que tr(xy) est un entier pour tout y dans O_K, alors I contient O_K. Par définition, l'idéal différent $\delta_{\mathbb{K}}\,$ est $I^{-1}\,$, un idéal de O_K.

La norme de $\delta_{\mathbb{K}}\,$ est l'idéal de $\mathbb{Z}$ engendré par le discriminant $D_{\mathbb{K}}\,$ de $\mathbb{K}\,$.

La différente peut aussi être définie pour une extension de corps de nombres L/K (la différente relative) et pour les corps locaux. Elle joue un rôle dans la dualité de Pontryagin pour les corps p-adiques.

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