Principe local-global

Pour le point de vue de la géométrie différentielle sur cette notion, voir l'article Passage du local au global.

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En mathématiques, et plus particulièrement en théorie algébrique des nombres et en géométrie algébrique, le principe local-global consiste à essayer de reconstituer une information sur un objet global à partir d'informations sur des objets locaux associés (ses localisations en tous les idéaux premiers), censément plus faciles à obtenir.

Théorème de Hasse-Minkowski

Ce théorème porte sur les formes quadratiques sur le corps global des nombres rationnels. Il stipule qu'une telle forme prendra la valeur 0, en un point rationnel distinct de l'origine, si et seulement si la forme prend la valeur 0 en chacun des corps locaux associé au corps des nombres rationnels, c'est-à-dire en $\mathbb{R}$, le corps des nombres réels, et en chacun des $\mathbb{Q}_p$, pour p nombre premier, corps des nombres p-adiques. C'est un exemple où le principe local-global est parfaitement vérifié.

Pour les formes de degré supérieur, de nombreux contre-exemples ont été donnés, qui empêchent tout espoir que le principe local-global puisse fournir un résultat très général. Des théorèmes positifs ont toutefois été obtenus, par exemple en se restreignant à des cubiques ayant suffisamment de variables.

Théorie du corps de classes

Le principe local-global fonctionne aussi pour les groupes de normes des extensions cycliques de corps de nombres algébriques. Ce fait est crucial dans la déduction de la théorie du corps de classes globale depuis la théorie du corps de classes locale.