Theoreme de Mertens

Théorème de Mertens

On désigne habituellement sous le nom de premier théorème de Mertens l'estimation suivante, où, par convention, une somme (ou un produit) indexée par p désigne une somme (ou un produit) ne portant que sur les nombres premiers. Pour tout réel $x \geq 2$, on a :

$\sum_{p \leq x} \frac {\ln p}{p} = \ln x + O(1).$

La démonstration utilise la formule de Legendre sur les valuations p-adiques de n!.

Le Second théorème de Mertens, appelé aussi formule de Mertens, stipule que, pour tout réel $x \geq 2$, on a :

$\prod_{p \leq x} \left ( 1 - \frac {1}{p} \right ) = \frac {e^{-\gamma}}{\ln x} \left ( 1 + O \left ( \frac {1}{\ln x} \right ) \right ),$

où $\gamma \approx 0,577 215 664...$ est la constante d'Euler-Mascheroni.

Ce document provient de « Th%C3%A9or%C3%A8me de Mertens ».