Theoreme de van Kampen

Théorème de van Kampen

En topologie algébrique, le théorème de van Kampen, également appelé théorème de Seifert-Van Kampen, est un résultat permettant de calculer le groupe fondamental d'un espace topologique qui se décompose en des espaces plus simples dont les groupes fondamentaux sont déjà connus.

Énoncé

Soient U₁, U₂ des ouverts connexes par arcs ainsi que leur intersection, et soit $x \in U_1 \cap U_2$. Alors le groupe fondamental de $U_1 \cup U_2$ en x est égal à la somme amalgamée^[1] de la famille des groupes fondamentaux de U₁ et U₂ au-dessus de celui de $U_1 \cap U_2$ :

$\pi(U_1 \cup U_2, x) = \pi(U_1, x) *_{\pi(U_1 \cap U_2, x)} \pi(U_2,x)$.

Un cas particulier essentiel est celui où $U_1 \cap U_2$ est simplement connexe : $\pi(U_1 \cup U_2, x)$ est alors le produit libre π(U₁,x) * π(U₂,x) des groupes fondamentaux de U₁ et U₂.

Par exemple, un tore percé d'un trou est homéomorphe à la réunion de deux cylindres d'intersection simplement connexe. Le théorème de van Kampen montre que son groupe fondamental est $\mathbb Z* \mathbb Z$, c'est à dire le groupe libre sur deux générateurs. De façon similaire, le groupe fondamental du plan projectif est le groupe à deux éléments.

Cas de deux sous-espaces fermés

Le théorème énoncé ci-dessus reste valide si U₁, U₂ et $U_1\cap U_2$ sont des sous-espaces fermés connexes par arcs^[2].

Soient V₁, V₂ des sous-espaces fermés connexes par arcs qui admettent des revêtements simplement connexes, ainsi que leur intersection, et soit $x \in V_1 \cap V_2$. Alors le groupe fondamental de $V_1 \cup V_2$ en x est égal à la somme amalgamée de la famille des groupes fondamentaux de V₁ et V₂ au-dessus de celui de $V_1 \cap V_2$ :

$\pi(V_1 \cup V_2, x) = \pi(V_1, x) *_{\pi(V_1 \cap V_2, x)} \pi(V_2,x)$.

Notes et références

1. ↑ Michel Zisman, Topologie algébrique élémentaire ; N. Bourbaki, Algèbre, chapitre I, pages I.80-84, A. Douady, Algèbre et théories galoisiennes, 2^e édition, page 252 (la somme amalgamée était appelée produit libre amalgamé dans le tome 2 de la première édition)
2. ↑ A. Douady, Algèbre et théories galoisiennes, tome 2, qui suppose que les espaces admettent un revêtement universel pointé.

Bibliographie

• Michel Zisman, Topologie algébrique élémentaire, ed. Armand Colin
• A. Douady, Algèbre et théories galoisiennes, première édition, ed. Cedic/Fernand Nathan et deuxième édition, ed. Cassini.

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