Tribu borélienne

La tribu borélienne sur un (ou d’un) espace topologique X est la plus petite σ-algèbre sur X contenant tous les ensembles ouverts. Les éléments de la tribu borélienne sont appelés des boréliens.

Le concept doit son nom à Émile Borel, qui a publié en 1898 une première exposition de la tribu borélienne de la droite réelle^[1].

Propriétés formelles

La tribu de Borel peut, de manière équivalente, se définir comme la plus petite σ-algèbre qui contient tous les sous-ensembles fermés de X. Si la topologie de X est engendrée par une famille dénombrable A, stable par intersection finie, la tribu borélienne associée à X est aussi engendrée par A.

Étant donné un sous-ensemble Y de X, la tribu borélienne de Y pour la topologie induite est identique à la trace sur Y de la tribu borélienne de X. Cela se prouve en une ligne si on applique le lemme de transport à l'injection canonique de Y dans X^[2].

Sur un produit de deux espaces topologiques X et Y, la tribu produit des tribus boréliennes de X et Y est toujours incluse dans la tribu borélienne du produit. Quand X et Y sont à base dénombrable, il y a même égalité^[3]. On trouvera plus de détails à l'article « tribu produit ».

Tribu borélienne de Rⁿ

Un exemple particulièrement important est la tribu borélienne de l’ensemble des nombres réels. La tribu des boréliens sur l'ensemble des nombres réels est la plus petite σ-algèbre sur R contenant tous les intervalles.

La tribu borélienne est aussi engendrée par les intervalles ouverts de la forme ]a,+∞[, où a parcourt R ; il suffit même de considérer a dans une partie dense de R comme par exemple Q l’ensemble des rationnels.

De la même façon, en dimension quelconque, la tribu des boréliens sur Rⁿ est engendrée par les pavés. De nombreuses variantes sont possibles, ainsi la tribu borélienne de Rⁿ est également engendrée par :

• les boules euclidiennes ouvertes (éventuellement en se restreignant aux rayons rationnels et centres à coordonnées rationnelles)
• les pavés ouverts
• les pavés fermés
• les pavés de la forme [a₁,b₁[ x [a₂,b₂[ x ... x [a_n,b_n[
• les produits de la forme [a₁,+∞[ x [a₂,+∞[ x ... x [a_n,+∞[
• les produits de la forme ]a₁,+∞[ x ]a₂,+∞[ x ... x ]a_n,+∞[

(dans chacun des exemples, on peut se borner à utiliser des nombres rationnels : toutes ces familles génératrices sont donc dénombrables)^[4].

Construction par récurrence transfinie

Un sous-ensemble de X est un borélien s’il peut être obtenu à partir d'ensembles ouverts en effectuant une suite dénombrable d’opérations d’unions, d’intersections et de passage au complémentaire, mais, contrairement à l’intuition première, on n'obtient pas ainsi, loin de là, tous les boréliens (quoiqu'on obtienne tous les boréliens usuels) ; en effet, la classe obtenue selon ce schéma de construction n'est pas stable pour les réunions et intersections dénombrables, et il faut, pour obtenir tous les boréliens, itérer transfiniment ce schéma ; pour plus de détails, voir les articles « tribu engendrée » et « hiérarchie de Borel ».

Cette construction permet de prouver que la tribu borélienne de Rⁿ a la puissance du continu^[5].

Espaces boréliens standards à isomorphisme près

Un espace mesurable est dit lusinien ou standard s’il est isomorphe à une partie borélienne d'un espace polonais muni de la tribu induite par la tribu borélienne. Un théorème de Kuratowski assure^[6] que

Tous les espaces mesurables standards non dénombrables sont isomorphes.

Ainsi, du point de vue de la structure borélienne, tous les espaces non-dénombrables usuels sont indistinguables : R est isomorphe à tous les Rⁿ, à l’espace N^N, au cube de Hilbert, à l’espace de Cantor, à l’espace de Banach séparable C([0,1]) (ensemble des fonctions continues sur [0,1] muni de la topologie de la convergence uniforme), etc. — quoique ces espaces soient très différents du point de vue topologique ou algébrique.

Notes et références

1. ↑ Jean-Paul Pier, Histoire de l'intégration. Vingt-cinq siècles de mathématiques, Masson, 1996 (ISBN 22585324X) , p. 115-116 qui renvoie à Émile Borel, Leçons sur la théorie des fonctions, Gauthier-Villars, 1898 
2. ↑ Marc Briane & Gilles Pagès, Théorie de l'intégration, Paris, Vuibert, coll. « Les grands cours Vuibert », octobre 2000, 302 p. (ISBN 2-7117-8946-2) , p. 49-50
3. ↑ Briane-Pagès, op. cit., p. 193
4. ↑ Achim Klenke, Probability theory, a comprehensive course, Springer, 2008 (ISBN 9781848000476) , p. 10
5. ↑ Daniel Revuz, Mesure et intégration, Hermann, 1997 (ISBN 2705663509) , p. 110-111
6. ↑ Sashi Mohan Srivastava, A course on Borel sets, Springer, 1998 (ISBN 9780387984124)  , Théorème 3-3-13, p. 99 (la source ne fournit pas l'attribution à Kuratowski)