Élément minimal

Élément maximal

Définition

Dans un ensemble ordonné, un élément maximal est un élément tel qu'il n'existe aucun autre élément de cet ensemble qui lui soit supérieur, c'est-à-dire que a est dit élément maximal d'un ensemble ordonnné (E, ≤) si a est un élément de E tel que pour tout x appartenant à E, a ≤ x ⇒ a = x.

Si l'ordre est partiel, un élément maximal n'est pas forcément un majorant, ni la borne supérieure de l'ensemble, ni non plus son plus grand élément. Par contre si l'ensemble ordonné possède un plus grand élément, alors celui-ci est un élément maximal, et c'est le seul.

Si l'ordre est total, les notions d'élément maximal et de plus grand élément sont cofondues (de même pour élément minimal et plus petit élément).

Exemples

• L'ensemble des parties d'un ensemble E muni de l'inclusion, a pour seul élément maximal E, qui est aussi le plus grand élément.
• L'ensemble des parties propres (différentes de l'ensemble lui-même) d'un ensemble E non vide, muni de l'inclusion, a pour éléments maximaux tous les E - {a}, a ∈ E. Il n'y a pas de plus grand élément dès que E a plus de deux éléments.
• L'ensemble des entiers naturels muni de l'ordre usuel est un exemple d'ordre total qui n'a pas de plus grand élément, donc pas d'élément maximal.
• L'ensemble des suites finies de 0 et de 1, muni de l'ordre préfixe, (u₀, …, u_n) ≤ (v₀, …, v_p) quand n ≤ p et pour i ≤ n u_i=v_i), est un ordre partiel qui n'a pas d'éléments maximaux, et la suite vide pour plus petit élément (donc seul élément minimal).
• Un arbre muni de la relation « est un ancêtre de » a pour éléments maximaux toutes ses feuilles (il n'en existe pas forcément, les branches pouvant être infinies).

Notions connexes

• borne supérieure
• majorant
• plus grand élément

Voir aussi

• Lemme de Zorn

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