Base d'Auerbach

Base d'Auerbach

Une base d'Auerbach dans un espace vectoriel normé est une partie libre vérifiant des propriétés spéciales.

Sommaire

Définition

Soit X un espace vectoriel normé. Pour tout vecteur a et toute partie B de X, la distance de a à B (ou, ce qui revient au même, à l'adhérence de B) est :

d(a,B)=\inf_{b\in B}\|a-b\|.

La notation [B] désignera l'adhérence du sous-espace vectoriel engendré par B.

Une partie A de X est appelée base d'Auerbach de X si les trois conditions suivantes sont satisfaites :

  • [A] = X, c'est-à-dire que le sous-espace vectoriel engendré par A est dense dans X ;
  • pour tout vecteur a de A, on a
    \|a\|=d(a,[A\setminus\{a\}]),
    c'est-à-dire que la norme de a est égale à sa distance au sous-espace engendré par les autres vecteurs de A ;
  • le vecteur nul n'appartient pas à A.

Une base d'Auerbach A est dite base d'Auerbach normée lorsque tous les vecteurs de A ont pour norme 1.

Propriétés

  • Toute base d'Auerbach A est :
    • topologiquement libre c'est-à-dire[1] que pour tout a de A, le vecteur a n'appartient pas à \scriptstyle[A\setminus\{a\}], et a fortiori algébriquement libre ;
    • topologiquement génératrice, ou « totale »[1] (c'est ce qu'exprime la condition [A] = X), mais pas nécessairement algébriquement génératrice.

(Si X est de dimension finie, ces deux notions topologiques sont équivalentes à leurs homologues algébriques.)

  • Dans les espaces vectoriels normés de dimension finie, le lemme d'Auerbach affirme qu'il y a toujours une base d'Auerbach.

Motivation

Dans un espace préhilbertien, pour tout vecteur x et toute partie B on a :

\|x\|=d(x,[B])\Leftrightarrow x\perp B

(le cas général se déduit du cas particulier où [B] est une droite). Dans un tel espace, la notion de base d'Auerbach normée est donc équivalente à celle de base de Hilbert.

La notion a été définie dans la thèse de Herman Auerbach. La thèse, écrite en 1929, a disparu. Mais la notion a été mentionnée dans une monographie de Stefan Banach de 1932[2].

Définition équivalente

Dans un espace de Banach X, une partie A est une base d'Auerbach normée (si et) seulement si :

  • [A] = X ;
  • pour tout vecteur a de A, on a la condition de normalisation \scriptstyle\|a\|=1 ;
  • pour tout vecteur a de A, il existe une forme linéaire continue f sur X (donc un élément du dual topologique de X) de norme 1, nulle sur \scriptstyle A\setminus\{a\} et telle que f(a) = 1.

En effet, d'après une version simplifiée du théorème de Hahn Banach, pour tout sous-espace vectoriel fermé F de l'espace de Banach X et tout vecteur a n'appartenant pas à F, il existe sur X une forme linéaire f de norme 1, nulle sur F, et telle que f(a) = d(a,F).

Note et références

  1. a et b N. Bourbaki, Éléments de mathématique, EVT I
  2. Stefan Banach, Théorie des opérations linéaires. Monografie matematyczne, édité par M. Garasiński, Varsovie, 1932

Article connexe

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