Formule De Chowla-Selberg

Formule de Chowla-Selberg

En mathématiques, la formule de Chowla-Selberg est l'évaluation d'un certain produit de valeurs de la fonction gamma aux valeurs rationnelles. Le nom provient d'un papier commun de 1967 des mathématiciens Chowla et Selberg. Le résultat de base était déjà connu plus tôt dans un travail du mathématicien tchèque Mathias Lerch (1860-1922).

Sous une forme logarithmique, la formule montre que dans certains cas, la somme

$\sum_{0<r<D}\chi(r)\log\Gamma\left(\frac rD\right)$

peut être évaluée (par la théorie des formes modulaires). Ici χ est le symbole de Jacobi modulo D, où -D est le discriminant d'un corps quadratique imaginaire. La somme est prise sur 0 < r < D, avec la convention usuelle χ(r) = 0 si r et D ont un facteur commun.

L'origine de ce genre de formules est maintenant perçue dans la théorie de la multiplication complexe, et en particulier dans la théorie des périodes d'une variété abélienne de type CM. Ceci a conduit à beaucoup de recherches et de généralisations. En particulier, à l'analogue des nombres p-adiques, impliquant une fonction gamma p-adique, qui a été initiée par Gross et Koblitz, une notion importante dans la théorie des périodes p-adiques.

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