Aleph-un

Cet article court présente un sujet plus développé dans : Aleph (nombre).

En théorie des ensembles les alephs sont les cardinaux des ensembles bien ordonnés infinis, et ℵ₁ (lire Aleph-un) est le plus petit d'entre eux qui ne soit pas dénombrable, c'est-à-dire le plus petit qui soit strictement supérieur à ℵ₀, cardinal de l'ensemble des entiers naturels^[1] ; ℵ₁ est aussi le cardinal de l'ensemble des ordinaux dénombrables (dit autrement le cardinal associé à l'ordinal de Hartogs de l'ensemble des entiers naturels)^[2].

Il n'existe aucun ensemble dont le cardinal soit strictement compris entre ℵ₀ et ℵ₁. En présence de l'axiome du choix, tous les ensembles pouvant être bien ordonnés, ℵ₁ est le plus petit cardinal infini non dénombrable.

L'hypothèse du continu de Cantor est que la puissance du continu, le cardinal de l'ensemble des réels, noté 2^ℵ₀ ou $\mathfrak c$, égale ℵ₁.

Notes et références

1. ↑ Jean-Louis Krivine, Théorie axiomatique des ensembles, Presses universitaires de France, Paris (1972), p. 47. Cette référence ne s'arrête pas à $\aleph_1$ mais énonce directement la caractérisation similaire de $\aleph_{\alpha+1}$, où α est un ordinal quelconque.
2. ↑ (en) Yiannis Moschovakis, Notes on set theory, Springer, 2000 (ISBN 9780387287232)  p. 124 et 186. Là aussi c'est $\aleph_{\alpha+1}$ dont la définition est présentée.