Livre II des Elements d'Euclide

Livre II des Elements d'Euclide

Livre II des Éléments d'Euclide

Le Livre II des Éléments d'Euclide contient ce qu'on appelle habituellement — et à tort — l'algèbre géométrique. En effet, une grande partie de ses propositions peuvent s'interpréter algébriquement, ce que n'ont pas manqué de faire les mathématiciens arabo-musulmans, en particulier al-Khwarizmi.
Cependant, il ne s'agit pas d'algèbre car ce livre ne résout pas de problème numérique et encore moins d'équation. Il ne traite que d'égalités d'aires de rectangles ou de carrés.

Le livre contient :

  • 2 définitions
  • 14 propositions

Les définitions

La première définition indique ce qu'on entend par rectangle contenu sous deux droites et dont l'usage est très fréquent dans les Éléments. Il s'agit simplement du rectangle dont les côtés ont des longueurs égales à celle des deux droites données. Algébriquement, il correspond au produit de ces deux longueurs.

La deuxième définition définit le gnomon : il s'agit de la figure restant d'un parallélogramme dont on a retiré un parallélogramme plus petit de même diagonale.

Les propositions

Bien que les énoncés soient purement géométriques, nous donnerons ci-dessous leur interprétation moderne algébrique. Insistons sur le fait que cette interprétation algébrique est étrangère à la conception d'Euclide, même si elle peut éclairer à nos yeux la démarche suivie.

  • Distributivité de la multiplication par rapport à l'addition (prop.1 à 3). Elle s'énonce géométriquement par le fait que des rectangles de même hauteur disposés côte à côte forment un rectangle dont l'aire est la somme des aires de ces rectangles. Algébriquement, a(b + c + ... + d) = ab + ac + ... + ad
  • Identités remarquables. La prop.4 énonce que, si la droite est coupée à volonté, le carré de la droite entière est égal aux carrés des segments, et à deux fois le rectangle contenu sous les deux segments. On reconnaît notre identité remarquable (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab, deux fois le rectangle contenu sous les deux segments n'étant autre que le double produit. La prop.5 énonce que si une ligne droite est coupée en parties égales et en parties inégales, le rectangle sous les segments inégaux de la droite entière avec le carré de la droite placée entre les sections, est égal au carré de la moitié de la droite entière, ce qui s'interprète algébriquement par la relation ab + \left(a - \frac{a+b}{2}\right)^2 = \left(\frac{a+b}{2}\right)^2. Cette proposition est d'usage courant dans les Éléments et fait figure d'identité fondamentale. Par exemple, c'est elle qui est utilisée dans la prop.III-35 introduisant la puissance d'un point par rapport à un cercle. Les prop.6 à 10 énoncent d'autres identités qui se ramènent aux précédentes.
  • Problème du second degré. La prop.11 expose comment couper une droite donnée, de manière que le rectangle compris sous la droite entière et l'un des segments soit égal au carré du segment restant. Algèbriquement, cela revient à résoudre ax = (ax)2 et relève d'un problème du second degré, question déjà fort connue des babyloniens. Cette proposition servira à Euclide pour construire un pentagone régulier (prop.IV-11) ou pour couper un segment en extrême et moyenne raison (prop.VI-30).
  • Théorème d'Al-Kashi. Les prop.12 et 13 énoncent des résultats qu'on peut interpréter comme le théorème d'Al-Kashi (ou théorème de Pythagore généralisé ou loi des cosinus).
  • Construction de la moyenne géométrique. La prop.14 énonce comment construire un carré dont l'aire est égale à celle d'un rectangle donné.

Bibliographie

  • Les œuvres d'Euclide, traduction de F. Peyrard, Paris (1819), nouveau tirage par Jean Itard, Editions Albert Blanchard (1993)
  • Euclide, Les Éléments, traduction, commentaires et notes de Bernard Vitrac [détail des éditions]


Éléments d'Euclide
Livre I ~ Livre II ~ Livre III ~ Livre IV ~ Livre V ~ Livre VI
Livre VII ~ Livre VIII ~ Livre IX ~ Livre X ~ Livre XI ~ Livre XII ~ Livre XIII
  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Livre II des %C3%89l%C3%A9ments d%27Euclide ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Livre II des Elements d'Euclide de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Livre II Des Éléments D'Euclide — Le Livre II des Éléments d Euclide contient ce qu on appelle habituellement et à tort l algèbre géométrique. En effet, une grande partie de ses propositions peuvent s interpréter algébriquement, ce que n ont pas manqué de faire les mathématiciens …   Wikipédia en Français

  • Livre I Des Éléments D'Euclide — Le livre I des Éléments d Euclide pose les fondements pour la suite de l ouvrage. Il contient : 35 définitions de vocabulaire 5 demandes (ou postulats selon Proclos) plus un apocryphe 5 notions communes (ou axiomes selon Proclos) plus quatre …   Wikipédia en Français

  • Livre I des Elements d'Euclide — Livre I des Éléments d Euclide Le livre I des Éléments d Euclide pose les fondements pour la suite de l ouvrage. Il contient : 35 définitions de vocabulaire 5 demandes (ou postulats selon Proclos) plus un apocryphe 5 notions communes (ou… …   Wikipédia en Français

  • Livre i des éléments d'euclide — Le livre I des Éléments d Euclide pose les fondements pour la suite de l ouvrage. Il contient : 35 définitions de vocabulaire 5 demandes (ou postulats selon Proclos) plus un apocryphe 5 notions communes (ou axiomes selon Proclos) plus quatre …   Wikipédia en Français

  • Livre ii des éléments d'euclide — Le Livre II des Éléments d Euclide contient ce qu on appelle habituellement et à tort l algèbre géométrique. En effet, une grande partie de ses propositions peuvent s interpréter algébriquement, ce que n ont pas manqué de faire les mathématiciens …   Wikipédia en Français

  • Livre III Des Éléments D'Euclide — Le livre III des Éléments d Euclide traite des propriétés du cercle (tangentes au cercle, angles inscrits et angles au centre, puissance d un point par rapport à un cercle). Il comporte : 11 définitions 37 propositions Les définitions Dans… …   Wikipédia en Français

  • Livre III des Elements d'Euclide — Livre III des Éléments d Euclide Le livre III des Éléments d Euclide traite des propriétés du cercle (tangentes au cercle, angles inscrits et angles au centre, puissance d un point par rapport à un cercle). Il comporte : 11 définitions 37… …   Wikipédia en Français

  • Livre iii des éléments d'euclide — Le livre III des Éléments d Euclide traite des propriétés du cercle (tangentes au cercle, angles inscrits et angles au centre, puissance d un point par rapport à un cercle). Il comporte : 11 définitions 37 propositions Les définitions Dans… …   Wikipédia en Français

  • Livre X des Éléments d'Euclide — Le livre X des Éléments d Euclide est le plus volumineux des treize livres constituant les Éléments. Il a pour objet une classification des grandeurs irrationnelles en fonction de la complexité avec laquelle elles ont été formées. Les opérations… …   Wikipédia en Français

  • Livre I des Éléments d'Euclide — Le livre I des Éléments d Euclide pose les fondements pour la suite de l ouvrage. Il contient : 35 définitions de vocabulaire 5 demandes (ou postulats selon Proclos) plus un apocryphe 5 notions communes (ou axiomes selon Proclos) plus quatre …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”