Nombre premier super-singulier

En mathématiques, un nombre premier super-singulier est une certaine sorte de nombre premier.

Formellement, H désigne le demi-plan supérieur du plan complexe. Pour un nombre naturel n, $\Gamma_0(n)\,$ désigne le groupe modulaire $\Gamma_0\,$, et soit $w_n\,$ l'involution de Fricke définie par la matrice bloc [[0, −1], [n, 0]]. De plus, soit la courbe modulaire $X_0(n)\,$ étant la compactification (ajouté de points manquants) de

$Y_0(n) = \Gamma_0(n) \ H\,$,

et pour un nombre premier p quelconque, définissons

$X_0^+(p) = X_0(p)/w_p\,$.

Alors, p est super-singulier, ce qui signifie, par définition, que le genre de $X_0^+(p)\,$ est zéro.

Il est aussi possible de définir les nombres premiers super-singuliers à la manière de la théorie des nombres en utilisant les courbes elliptiques super-singulières définies sur la clôture algébrique du corps fini GF(p) qui ont leur 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59 et 71, voir suite A002267 de l’OEIS. Il peut aussi être montré que les nombres super-singuliers sont exactement les facteurs premiers de l'ordre du groupe Monstre M.

Note : l'ensemble des nombres premiers super-singuliers est un sous-ensemble de l'ensemble des nombres premiers de Chen.