Théorème d'Ostrowski

Pour les articles homonymes, voir Ostrowski.

En mathématiques, le théorème d'Ostrowski est un théorème, nommé en l'honneur du mathématicien Alexander Ostrowski, d'après lequel toute valeur absolue non triviale sur l'ensemble des rationnels $\mathbb{Q}$ est topologiquement équivalente soit à la valeur absolue usuelle, soit à l'une des valeurs absolues p-adiques.

Plus précisément et plus généralement^[1], le théorème d'Ostrowski énonce que les seules valeurs absolues non-ultramétriques sur un corps K sont (s'il en existe) les applications de la forme $x\mapsto|f(x)|^c$, où f est un plongement de K dans le corps des complexes, et $0<c\le 1$. Or les valeurs absolues ultramétriques sur K sont celles induites par une valuation réelle, et pour K=$\mathbb{Q}$ les valuations réelles sont les valuations p-adiques.

Valeur absolue

Article détaillé : Valeur absolue.

Soit K un corps. Une valeur absolue (encore appelée norme de corps) sur K est une application $|\cdot |$ de K dans $\R_+$ vérifiant

1. $\forall x \in K,\ |x|=0\Longleftrightarrow x=0;$
2. $\forall (x,y) \in K^2,\ |x\times y|=|x|\times |y|;$
3. $\forall (x,y) \in K^2,\ |x+y| \leq |x|+|y|.$

Si la valeur absolue vérifie la condition

$\forall (x,y)\in K^2,\ |x+y| \leq \max(|x|,|y|);$

plus forte que la condition 3), alors la valeur absolue est dite ultramétrique.

Valeur absolue triviale

La valeur absolue triviale $|\cdot|_0$ sur $\mathbb{Q}$ est définie par

$|x|_0 = \left\{ \begin{array}{lll} 0 & \mbox{si} & x = 0 \\ 1 & \mbox{si}& x \ne 0 \end{array}\right.$

Valeur absolue usuelle

La valeur absolue usuelle $|\cdot |_\infty$ sur $\mathbb{Q}$ est définie par

$|x|_\infty = \left\{ \begin{array}{lll} x & \mbox{si} & x \ge 0 \\ -x & \mbox{si}& x <0 \end{array}\right.$

Valeur absolue p-adique

Article détaillé : Nombre p-adique.

Pour un nombre premier p, on dispose du résultat

$\forall x \in \mathbb{Q},\ \exists n \in \Z,\ \exists (a,b) \in (\Z^*)^2,\ a \wedge b \wedge p =1 \quad \mathrm{et} \quad x=p^n \frac{a}{b}$

La valeur absolue p-adique $|\cdot |_p$ sur $\mathbb{Q}$ est alors définie par

$|x|_p = \left\{ \begin{array}{lll} 0 & \mbox{si} & x = 0 \\ p^{-n} & \mbox{si} & x \ne 0 \end{array} \right.$

Elles sont toutes ultramétriques.

Valeurs absolues équivalentes

Deux valeurs absolues sur un corps K sont dites topologiquement équivalentes si et seulement si elles définissent la même topologie (c'est-à-dire qu'elles définissent les mêmes ouverts). Ou encore qu'une suite d'éléments de K converge pour la première valeur absolue si et seulement si elle converge pour la seconde.

Théorème d'Ostrowski

Théorème d'Ostrowski — Une valeur absolue non triviale sur $\mathbb{Q}$ est topologiquement équivalente à la valeur absolue usuelle $|\cdot |_\infty$ ou à l'une des valeurs absolues p-adiques $|\cdot |_p$ où p est un nombre premier.

Complétés du corps des nombres rationnels

Article détaillé : Espace complet#Complété d'un espace métrique.

Le théorème d'Ostrowski montre qu'il n'existe que deux types de complété du corps $\mathbb{Q}$. Si on prend une valeur absolue équivalente à la valeur absolue usuelle, on construira un corps isomorphe à $\R$. On pourra consulter la construction des nombres réels pour plus d'information.

Si on complète le corps $\mathbb{Q}$ par une valeur absolue p-adique, on obtient des corps complets très différents de celui des réels : les corps p-adiques. Cela ouvre les portes de l'analyse p-adique.

Notes

1. ↑ Jean-Pierre Serre, Corps locaux [détail des éditions] p.36

Références

• Gerald J. Janusz, Algebraic Number Fields, American Mathematical Society, 1996, 1997, 2^e éd. (ISBN 978-0-8218-0429-2) 
• Nathan Jacobson, Basic algebra II, W H Freeman, 1989, 2^e éd. (ISBN 978-0-7167-1933-5) 

Liens externes

• Une démonstration du théorème d'Ostrowski

Voir aussi

• Valuation
• Prix Ostrowski