Homologie (géométrie)

Homologie (transformation géométrique)

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Homologie

Il n'existe apparemment aucun rapport entre les homologies géométriques vues dans cet article, et les groupes d'homologie en topologie différentielle.

Définition

Les homologies (vectorielles, affines, projectives) d'un espace (vectoriel, affine, projectif) sont les bijections (linéaires, affines, projectives) de cet espace dans lui même ayant un hyperplan invariant point par point, appelé la base de l'homologie, ou son axe en dimension 2.

En dimension finie, toute bijection (linéaire, affine, projective) est composée d'un nombre fini d'homologies (vectorielles, affines, projectives) ; autrement dit ces dernières sont des générateurs du groupe (linéaire, affine, projectif).

Homologies vectorielles

Nous allons voir qu'elles sont constituées des dilatations et des transvections.

Soit f une homologie d'un espace vectoriel $E\,$ ; $H=ker(f-\lambda\cdot\ id)\,$ est donc un hyperplan, et $D=Im(f-\lambda\cdot\ id)\,$ est donc une droite, stable par $f\,$ ; la restriction de $f\,$ à $D\,$ est donc une homothétie de rapport $\lambda\,$ ; on a alors deux cas :

1. $H\,$ et $D\,$ sont en somme directe :$f\,$ est une affinité vectorielle de base $H\,$, de direction $D\,$ et de rapport $\lambda\,$ ; dans ce cas où la base est un hyperplan, on parle de dilatation.
2. $D\,$ est inclus dans $H\,$ : si $u\,$ est un vecteur directeur de $D\,$, on montre qu'il existe alors une forme linéaire $h\,$ de noyau $H\,$ telle que pour tout $x\,$ de $E\,$ :

$f(x)=x+h(x)u\,$

Une telle application est appelée une transvection.

Homologies affines

Les homologies affines ayant un point fixe, on retrouve exactement les deux cas : dilatation, et transvection.

Homologies projectives

Soit $f\,$ une homologie de l'espace projectif $E\,$, de base un hyperplan $H\,$. On sait que le complémentaire $E_1\,$ de $H\,$ peut être muni d'une structure d'espace affine (les droites parallèles dans $E_1\,$ sont les droites de $E\,$ sécantes en un point de $H\,$). La restriction de $f\,$ à $E_1\,$ est alors une application affine qui transforme une droite en une droite parallèle.

Les homologies projectives sont donc les complétées projectives des translations et des homothéties.

• Les homologies complétées d'une translation sont dites spéciales, ou appelées élations ; le point à l'infini de la translation est appelé leur centre.
• Les homologies complétées d'une homothétie sont dites générales : leur centre et rapport sont ceux de l'homothétie ;
• Les homologies de rapport -1 (complétées d'une symétrie centrale) sont dites harmoniques.

Les droites passant par le centre d'homologie sont globalement invariantes, et cette propriété est caractéristique : Une homographie est une homologie ssi elle possède un point fixe tel que les droites passant par ce point sont globalement invariantes.

Étant donnés deux points $A\,$ et $A'\,$ en dehors d'un hyperplan $H\,$, il existe une unique homologie de base $H\,$ et transformant $A\,$ en $A'\,$ ; les constructions sont indiquées ci-dessous :

Homologie générale de rapport λ
Cas où le centre et la base sont à distance finie. Le birapport (O,I,M,M') est constant égal à λ.	Cas où la base est à distance finie, et le centre à l'infini : la restriction au complémentaire d'un hyperplan contenant le centre est une dilatation de rapport 1 / λ	Cas où la base est à l'infini, et le centre à distance finie : la restriction au complémentaire de la base est une homothétie de rapport λ

Homologie spéciale ou élation
Cas où le centre et la base sont à distance finie.	Cas où la base est à distance finie, et le centre à l'infini : la restriction au complémentaire d'un hyperplan contenant le centre est une transvection.	Cas où la base est à l'infini (et donc le centre aussi) : la restriction au complémentaire de la base est une translation.

Point de vue algébrique : l'espace projectif E étant défini comme l'ensemble dont les points sont les droites vectorielles de l'espace vectoriel $\overrightarrow E$, les homologies projectives de E sont les homographies provenant des homologies vectorielles de $\overrightarrow E$ ; en dimension finie, les homologies générales de rapport λ ont pour matrice homogène réduite $\begin{bmatrix} 1 & & & & \\ & 1 & & & \\ & & . & & \\ & & & 1 & \\ & & & & \lambda \end{bmatrix}$ et les homologies spéciales : $\begin{bmatrix} 1 & & & & \\ & 1 & & & \\ & & . & & \\ & & & 1 & 1 \\ & & & & 1 \end{bmatrix}$.

Homologie par perspective

Plongeons l'espace euclidien $E_n\,$ de dimension n comme hyperplan d'un espace $E_{n+1}\,$ de dimension n+1 et faisons tourner $E_n\,$ autour de son hyperplan $H\,$, de façon à en obtenir une copie $\tilde E_n\,$. Tout point $M\,$ de $E_n\,$ a une copie $\tilde M$ dans $\tilde E_n\,$, donc aussi l'image $M'\,$ de $M\,$ par une homologie projective de base $H\,$ et de centre $O\,$ du complété projectif de $E_n\,$. On montre que les droites joignant $M\,$ à $\tilde M'$ passent par un point fixe $S\,$, de sorte que l'application $M \rightarrow \tilde M'$ est la restriction d'une projection centrale de centre S. On remarque que $S\,$ se trouve sur la droite passant par $O\,$ et orthogonale à l'hyperplan bissecteur de $E_n\,$ et $\tilde E_n\,$.

Expression analytique

Dans le plan $K^2\,$, l'homologie $(x,y)\mapsto(x',y')$ d'axe l'axe des abscisses, de centre $(0,a)\,$, et de rapport $\lambda\,$ s'exprime par les formules :

$\begin{matrix} x'=\lambda {a \over {a+(\lambda-1)y}} x\\ y'=\lambda {a \over {a+(\lambda-1)y}} y\end{matrix}$

ce qui correspond aux formules en coordonnées homogènes :

$\begin{matrix} X'=\lambda a X\\ Y'=\lambda a Y\\ Z'=aZ+(\lambda-1)Y\end{matrix}$

et à la matrice homogène $diag(\lambda a ,\lambda a ,a)+ (\lambda-1)E_{3,2}\,$.

Figures homologiques

Deux figures sont dites homologiques si elles sont images l'une de l'autre par une homologie. Ceci constitue une généralisation de la notion de figures homothétiques.

Par exemple deux triangles (ABC) et (A'B'C') sont homologiques si, à permutation près, il existe une homologie envoyant A en A', B en B', C en C' ; cela équivaut à ce que les droites (AA'),(BB') et (CC') soient concourantes (au centre de l'homologie) ; et cela équivaut aussi à ce que les points d'intersection des droites (AB) et (A'B'), (BC) et (B'C'), (CA) et (C'A') appartiennent à un même hyperplan (la base de l'homologie). L'équivalence entre ces deux dernières propriétés constitue le théorème de Desargues.

Homologie biaxiale

Les homologies biaxiales sont les homographies en dimension 3 ayant deux droites non coplanaires formées de points fixes. Ce ne sont donc pas des homologies au sens général donné ici.

La construction de l'image M' d'un point M se fait simplement grâce à la propriété suivante : Si H et H' sont les uniques points respectifs de D et D' tels que H,H',M sont alignés, le birapport (H,H',M,M') est constant égal à λ ; la matrice homogène dans un repère projectif dont les deux premiers points sont sur D et les deux suivants sont sur D' est : $\begin{bmatrix} \lambda & & & \\ & \lambda & & \\ & & 1 & \\ & & & 1 \end{bmatrix}$.

Les homologies biaxiales peuvent être vues aussi comme les complétées projectives des affinités de base une droite.

Voir aussi

• Homologie des groupes

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