Paraboloïde hyperbolique

Paraboloïde hyperbolique

Paraboloïde

En mathématiques, un paraboloïde est une surface du second degré de l'espace euclidien. Il fait donc partie des quadriques, avec pour caractéristique principale de ne pas posséder de centre de symétrie.

Certaines sections d'un paraboloïde avec un plan sont des paraboles. D'autres sont, selon le cas, des ellipses ou des hyperboles. On distingue donc les paraboloïdes elliptiques et les paraboloïdes hyperboliques.

Sommaire

Paraboloïde elliptique

Paraboloïde de révolution

Cette surface peut s'obtenir en faisant glisser une parabole sur une autre parabole tournant sa concavité dans la même direction.

Dans un repère bien choisi, son équation est de la forme


\left( \frac{x}{a} \right) ^2 + \left( \frac{y}{b} \right) ^2 - z = 0

Le cas a = b fournit, en repère orthonormal, le cas particulier du paraboloïde de révolution. Ses sections avec un plan perpendiculaire à l'axe de rotation sont alors des cercles. Le schéma ci-contre représente, pour x et y compris entre -1 et 1, la surface d'équation z = x2 + y2. Les cercles « horizontaux » se voient en trait bleu-vert et les paraboles « verticales » en trait jaune.

Cette surface possède des applications classiques dans le domaine des miroirs. Elle donne sa forme autant à des projecteurs comme les phares de voiture qu'à des capteurs comme les antennes paraboliques ou les fours solaires tels que celui d'Odeillo près de Font-Romeu dans les Pyrénées-Orientales. L'avantage d'une surface parabolique par rapport à une découpe sphérique est la concentration des rayons réfléchis en un seul point : le point focal. Une surface sphérique ne va pas réfléchir les rayons en un seul point mais va les disperser sur son axe de rotation en fonction de l'angle d'incidence.

Le volume du bol paraboloïde elliptique de hauteur h est donné par la formuleV = \frac{1}{2} S h, où S désigne l'aire de l'ellipse qui le délimite.

Paraboloïde hyperbolique

Paraboloïde hyperbolique

Cette surface peut s'obtenir en faisant glisser une parabole sur une autre parabole tournant sa concavité dans la direction opposée. C'est aussi une surface réglée qu'on peut engendrer par le déplacement d'une droite s'appuyant sur deux droites fixes non coplanaires. Il est donc possible de construire une telle surface avec des ficelles tendues entre 4 pieux[1]. Cette technique est fréquemment utilisée dans le scoutisme comme décoration.

Dans un repère bien choisi, son équation est de la forme


\left( \frac{x}{a} \right) ^2 - \left( \frac{y}{b} \right) ^2 - z = 0\,\!

La forme particulière de cette surface lui vaut le surnom de selle de cheval. Le schéma ci-contre représente, pour x et y compris entre -1 et 1, la surface d'équation z=x^2-y^2\,\!. On reconnaît, en jaune, des hyperboles « horizontales » qui dégénèrent en droites sécantes pour z=0\,\!, et, en violacé, des paraboles « verticales ».

La selle de cheval se distingue de la selle de singe [1], plus générique, parce qu'elle représente un minimax (selon le plan sécant utilisé, on trouve soit un minimum, soit un maximum). La selle de singe n'a pas cette propriété. Elle peut être visualisée comme une selle sur laquelle un singe pourrait s'asseoir sans gêner ses jambes ni sa queue. Voici un exemple de selle de singe :


z = x \left( x^2 - ay^2 \right)\,\!

Notes et références

Liens externes


Solides géométriques
Les polyèdres
Les solides de Platon
Tétraèdre - Cube - Octaèdre - Icosaèdre - Dodécaèdre
Les solides d'Archimède
Tétraèdre tronqué - Cube tronqué - Octaèdre tronqué - Dodécaèdre tronqué - Icosaèdre tronqué - Cuboctaèdre - Cube adouci - Icosidodécaèdre - Dodécaèdre adouci - Petit rhombicuboctaèdre - Grand rhombicuboctaèdre - Petit rhombicosidodécaèdre - Grand rhombicosidodécaèdre
Les solides de Kepler-Poinsot
Petit dodécaèdre étoilé - Grand dodécaèdre étoilé - Grand dodécaèdre - Grand icosaèdre
Les solides de Catalan
Triakioctaèdre - Tétrakihexaèdre - Triakitétraèdre - Pentakidodécaèdre - Triaki-icosaèdre - Dodécaèdre rhombique - Icositétraèdre pentagonal - Triacontaèdre rhombique - Hexacontaèdre pentagonal - Icositétraèdre trapézoïdal - Hexakioctaèdre - Hexacontaèdre trapézoïdal - Hexaki icosaèdre
Les solides de Johnson
Les solides de révolution
Boule - Cylindre de révolution - Cône de révolution - Tore - Paraboloïde de révolution
  • Portail de la géométrie Portail de la géométrie
Ce document provient de « Parabolo%C3%AFde#Parabolo.C3.AFde hyperbolique ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Paraboloïde hyperbolique de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужен реферат?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Paraboloïde hyperbolique — ● Paraboloïde hyperbolique quadrique d équation …   Encyclopédie Universelle

  • paraboloïde — [ parabɔlɔid ] n. m. • 1691; adj. 1660 ; de 2. parabole ♦ Géom. Quadrique n ayant pas de centre. Paraboloïde elliptique, hyperbolique, dont certaines sections planes sont des ellipses, des hyperboles. Paraboloïde de révolution : surface engendrée …   Encyclopédie Universelle

  • Paraboloide — Paraboloïde En mathématiques, un paraboloïde est une surface du second degré de l espace euclidien. Il fait donc partie des quadriques, avec pour caractéristique principale de ne pas posséder de centre de symétrie. Certaines sections d un… …   Wikipédia en Français

  • Paraboloïde circulaire — Paraboloïde En mathématiques, un paraboloïde est une surface du second degré de l espace euclidien. Il fait donc partie des quadriques, avec pour caractéristique principale de ne pas posséder de centre de symétrie. Certaines sections d un… …   Wikipédia en Français

  • Paraboloïde elliptique — Paraboloïde En mathématiques, un paraboloïde est une surface du second degré de l espace euclidien. Il fait donc partie des quadriques, avec pour caractéristique principale de ne pas posséder de centre de symétrie. Certaines sections d un… …   Wikipédia en Français

  • hyperbolique — [ ipɛrbɔlik ] adj. • 1541; lat. hyperbolicus, gr. huperbolikos I ♦ Rhét. Caractérisé par l hyperbole. Style hyperbolique. Cour. Des compliments hyperboliques. ⇒ emphatique, grandiloquent. Philos. Le doute hyperbolique (Descartes). II ♦ (1646) 1 ♦ …   Encyclopédie Universelle

  • Paraboloïde — En mathématiques, un paraboloïde est une surface du second degré de l espace euclidien. Il fait donc partie des quadriques, avec pour caractéristique principale de ne pas posséder de centre de symétrie. Certaines sections d un paraboloïde avec un …   Wikipédia en Français

  • paraboloïde — (pa ra bo lo i d ) s. m. 1°   Terme de géométrie. Surface du deuxième degré dépourvue de centre. On distingue deux sortes de paraboloïdes : le paraboloïde elliptique, qui est composé d une seule nappe infinie ; et le paraboloïde hyperbolique qui… …   Dictionnaire de la Langue Française d'Émile Littré

  • QUADRIQUES — Les surfaces de l’espace matériel, que nous connaissons par leur emploi, en architecture par exemple, étaient autrefois classées en «corps ronds» et «corps droits». La sphère et le cube sont des surfaces typiques de ces deux familles. Les corps… …   Encyclopédie Universelle

  • Quadrique — En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une quadrique, ou surface quadratique, est une surface de l espace euclidien de dimension 3, lieu des points vérifiant une équation cartésienne de degré 2 Ax2 + By2 + Cz2 + 2Dyz +… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”