Théorème de Darmois

Énoncé

Soit une variable X dont le domaine de définition ne dépend pas de θ

• Une condition nécessaire et suffisante pour que l'échantillon (X₁,...,X_n) admette une statistique exhaustive est que la forme de la densité soit :

$f(x,\theta) = \exp(a(x) \cdot \alpha(\theta) + b(x) + \beta(\theta))$ (famille exponentielle)

• Si la densité est de cette forme et si de plus l'application $x_1 \to \sum_{i=1}^{n}a(x_i)$ est bijective et continûment différentiable pour tout i,

alors $T = \sum_{i=1}^{n}a(X_i)$ est une statistique exhaustive particulière.