PPCM


PPCM

Plus petit commun multiple

En mathématiques et plus précisément en arithmétique, le plus petit commun multiple, en abrégé PPCM (noté lcm en anglais pour least common multiple), de deux entiers naturels a et b, est le plus petit entier qui soit à la fois multiple de ces deux nombres. On le note ab[1], ppcm(a, b), ou parfois simplement (a, b).

Le PPCM de a et b peut également se définir comme un multiple commun de a et de b qui divise tous les multiples communs de a et de b.

La définition s'étend aux entiers relatifs. Sous la seconde forme, il faut alors ajouter qu'il doit être positif. La seconde forme de la définition se généralise en fait à un anneau commutatif quelconque, mais on perd en général l'existence et l'unicité, on parle alors d'un PPCM de deux éléments. L'existence est assurée dans les anneaux factoriels.

Le PPCM peut se définir plus généralement pour un nombre quelconque d'éléments : par exemple dans les entiers naturels, le PPCM de n entiers est le plus petit entier multiple simultanément de ces n entiers.

Sommaire

Définition

Soient (a,b)\in{\mathbb{Z}}^2.

  • Si a=0 ou b=0 \operatorname{PPCM}(a,b)=0
  • Si a et b sont non nuls on note m_{a,b}=\left\{ m\in\mathbb{N}^* / a|m \land b|m \right\}

On vérifie alors que m_{a,b} \subset \mathbb{N} et m_{a,b} \ne \empty (car |ab|\in m_{a,b})

Par axiome, min(ma,b) existe.

On définit \operatorname{PPCM}(a,b)=\min(m_{a,b}).

Calcul

A l'aide de la décomposition avec les nombres premiers

La décomposition en facteurs premiers du PPCM de n entiers strictement positifs contient tous les nombres premiers qui apparaissent dans au moins une des décompositions en facteurs premiers de ces n entiers, chacun affecté du plus grand exposant qui apparait dans celles-ci. On obtient donc une méthode de calcul du PPCM en décomposant chaque nombre en produit de nombres premiers.

Exemple: prenons les nombres 60 et 168 et décomposons-les en produits de facteurs premiers.On a :

60=2×2×3×5=2²×3×5

168=2×2×2×3×7=2³×3×7

Pour le nombre premier 2, le plus grand exposant est 3. Pour les nombres premiers 3, 5 et 7, le plus grand exposant est 1. On a alors PPCM(60, 168)=2³×3×5×7=840

A l'aide du PGCD

Dans le cas où aucun des deux entiers a et b n'est nul, le plus petit commun multiple peut être calculé en utilisant le plus grand commun diviseur (ou PGCD) de a et b,

a \vee b = \dfrac{|a b|}{a\wedge b} qui s'écrit aussi PPCM(a,b) = \dfrac{|a b|}{PGCD(a,b)}

Ainsi, l'algorithme d'Euclide pour le calcul du PGCD. nous donne aussi un algorithme rapide de calcul du PPCM

Exemple: avec l'algorithme d'Euclide, calculons PGCD(60,168) :
168 = 60 × 2 + 48
60 = 48 x 1 + 12
48 = 12 × 4 + 0 .

PGCD(60,168) = 12. Donc 12 × PPCM(60;168) = 60×168, soit :

PPCM(60;168) = (60 × 168) / 12 = 840.

Notes et références

  1. cette notation, utilisée plus généralement pour la borne supérieure dans les treillis ici celui de la divisibilité, sert également pour la disjonction logique

Articles connexes

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Plus petit commun multiple ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article PPCM de Wikipédia en français (auteurs)

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Ppcm — Plus petit commun multiple En mathématiques et plus précisément en arithmétique, le plus petit commun multiple, en abrégé PPCM (noté lcm en anglais pour least common multiple), de deux entiers naturels a et b, est le plus petit entier qui soit à… …   Wikipédia en Français

  • PPCM — postpartum cardiomyopathy …   Medical dictionary

  • PPCM — ⇒P.P.C.M., subst. masc. MATH. Abrév. de plus petit commun multiple (v. multiple B). Soit deux entiers naturels non nuls, a et b. L ensemble des multiples non nuls communs à a et b admet un plus petit élément qu on appelle plus petit commun… …   Encyclopédie Universelle

  • ppcm — ● um. sg. m. ►UM Pixel par centimètre …   Dictionnaire d'informatique francophone

  • PPCM — Plus Petit Commun Multiple …   Sigles et Acronymes francais

  • PPCM — • postpartum cardiomyopathy …   Dictionary of medical acronyms & abbreviations

  • ppcm —    , ppi    abbreviations for pixels per centimeter and pixels per inch, respectively.    A pixel is a single picture element , so these units measure the resolution, or fineness, of an image …   Dictionary of units of measurement

  • PPCM (mathématiques élémentaires) — Plus petit commun multiple En mathématiques et plus précisément en arithmétique, le plus petit commun multiple, en abrégé PPCM (noté lcm en anglais pour least common multiple), de deux entiers naturels a et b, est le plus petit entier qui soit à… …   Wikipédia en Français

  • Peripartum cardiomyopathy — Infobox Disease Name = Peripartum cardiomyopathy Caption = DiseasesDB = 29243 ICD10 = ICD10|O|90|3|o|85 ICD9 = ICD9|674.5 ICDO = OMIM = MedlinePlus = eMedicineSubj = med eMedicineTopic = 292 MeshID = Peripartum cardiomyopathy (PPCM) is a form of… …   Wikipedia

  • Plus petit commun multiple — En mathématiques et plus précisément en arithmétique, le plus petit commun multiple – en abrégé PPCM – de deux entiers non nuls a et b est le plus petit entier strictement positif qui soit à la fois multiple de ces deux nombres. On le note a ∨… …   Wikipédia en Français


Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.