Tenseur d'Einstein

En relativité générale, le tenseur d'Einstein est la quantité qui décrit comment le champ gravitationnel est affecté par la présence de matière.

Formule du tenseur d’Einstein en deux dimensions

Le tenseur d’Einstein est un tenseur d’ordre 2, ce qui schématiquement signifie que l’on peut le représenter sous forme d’une matrice, qui possède 4 lignes et 4 colonnes, autant que les coordonnées de l’espace-temps dans lequel nous vivons. Il se déduit du tenseur de Ricci par la formule

$G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu\nu}$

G_μν étant le tenseur d’Einstein, R_μν le tenseur de Ricci, g_μν la métrique riemannienne de l’espace-temps, et R la courbure scalaire, c’est-à-dire la trace du tenseur de Ricci. En deux dimensions, il s'écrit:

$\left.G_{xx}= R_{xx}-\frac12 g_{xx}R\right.$

ou

$\left. G_{yy} =R_{yy}-\frac12 g_{yy}R\right.$

Ces deux expressions sont égales et même nulles car on a:

$\left. R_{xx} = g^{xx} R_{xxxx} +g^{yy} R_{xyxy} = g^{yy}R_{xyxy} = 0+\frac{1}{g_{yy}}R_{xyxy}\right.$

$R = g^{mn} R_{mn} = g^{xx} R_{xx} +g^{yy} R_{yy} = \frac{1}{g_{xx}} R_{xx} +\frac{1}{g_{yy}} R_{yy} = \frac{2}{g_{xx}g_{yy}} R_{xyxy}$

$G_{xx}= \frac{1}{g_{yy}}R_{xyxy}-\frac12 g_{xx}\frac{2}{g_{xx}g_{yy}} R_{xyxy}=0$

On aurait de même G_yy = 0. Le tenseur d'Einstein d'une surface est identiquement nul, au contraire du tenseur de Riemann,ce qu'on vérifie sur la sphère^[1].

Propriété fondamentale

Le tenseur de Ricci se déduit d’un autre tenseur, le tenseur de Riemann. Celui-ci obéit à un certain nombre de propriétés dont l’une est appelée identité de Bianchi. Celle-ci, transposée à la définition du tenseur d’Einstein, implique qu’il est de divergence nulle :

D_μG^μν = 0,

où D est la dérivée covariante, sorte de généralisation du concept usuel de dérivée au cas où l’espace temps est courbé par la présence de matière, et où les composantes dites covariantes G^μν se déduisent de celles dites contravariantes de G_μν par la formule G^μν = g^μαg^νβG_αβ

Importance en relativité générale

Le tenseur d’Einstein est le seul tenseur d’ordre deux faisant intervenir la métrique et ses dérivées jusqu’à l’ordre deux qui soit de divergence nulle. C’est donc le candidat idéal pour faire partie des équations d'Einstein, qui relient la géométrie de l’espace-temps (en fait le tenseur d’Einstein) à la distribution de matière, décrite par le tenseur énergie-impulsion T_μν . Les équations d’Einstein s’écrivent ainsi

G_μν = κT_μν

la constante de proportionnalité κ est appelée constante d'Einstein est ajustée de façon à ce que les équations d’Einstein deviennent équivalente aux lois de la gravitation universelle reliant le potentiel gravitationnel Φ à la masse volumique µ au même point selon la loi dite de Poisson ΔΦ = 4πGμ, G étant la constante de Newton et Δ le laplacien.

Références

1. ↑ Kenyon, I.R., General relativity, Oxford University Press, 1990

Voir aussi

• Relativité générale
• Métrique riemannienne
• Tenseur de Riemann
• Tenseur de Ricci
• Courbure scalaire
• Dérivée covariante
• Équations d'Einstein