Tenseur energie-impulsion

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Le tenseur énergie-impulsion est un outil mathématique utilisé notamment en relativité générale afin de représenter la répartition de masse et d'énergie dans l'espace-temps.

La théorie de la relativité restreinte d'Einstein établissant l'équivalence entre masse et énergie, la théorie de la relativité générale indique que ces dernières courbent l'espace. L'effet visible de cette courbure est la déviation de la trajectoire des objets en mouvement, observé couramment comme l'effet de la gravitation.

Tenseur énergie-impulsion

Les composants du tenseur énergie-impulsion.

Le tenseur énergie-impulsion peut s'écrire sous la forme d'une matrice 4x4 réelle symétrique :

$T_{\mu \nu} \ = \ \left( \begin{matrix} T_{00} & T_{01} & T_{02} & T_{03} \\ T_{10} & T_{11} & T_{12} & T_{13} \\ T_{20} & T_{21} & T_{22} & T_{23} \\ T_{30} & T_{31} & T_{32} & T_{33} \end{matrix} \right)$

On y retrouve les grandeurs physiques suivantes :

T₀₀ est la densité volumique d'énergie. Elle est positive.

T₁₀, T₂₀, T₃₀ sont les densités de moments.

T₀₁, T₀₂, T₀₃ sont les flux d'énergie.

La sous-matrice 3 x 3 des composantes spatiale-spatiale :

$T_{ik} \ = \ \left( \begin{matrix} T_{11} & T_{12} & T_{13} \\ T_{21} & T_{22} & T_{23} \\ T_{31} & T_{32} & T_{33} \end{matrix} \right)$

est la matrice des flux de moments. En mécanique des fluides, sa diagonale correspond à la pression, et les autres composantes correspondent aux efforts tangentiels dus à la viscosité.

Construction

Pour une théorie décrite par une densité lagrangiennne $\mathcal{L}$, l'action s'écrit comme une intégrale sur l'espace-temps :

$S \ = \ \int d^4x \ \sqrt{g} \ \mathcal{L}$

où $g = \mathrm{det} \ g_{\mu \nu}$ est le déterminant du tenseur métrique de l'espace-temps. Le tenseur énergie-impulsion associé est défini par la variation de l'action par rapport à la métrique inverse :

$T_{\mu \nu} \ = \ \frac{1}{\sqrt{g}} \ \frac{\delta S}{\delta g^{\mu \nu}}$

Exemples

Pour un fluide au repos, le tenseur énergie-impulsion se réduit à la matrice diagonale diag(ρc^2,p,p,p) où ρ est la masse volumique et p la pression hydrostatique.

Propriétés

Le tenseur impulsion-énergie est symétrique :

T_αβ = T_βα

Le tenseur impulsion-énergie est à divergence nulle :

${T^{\alpha \beta}}_{; \alpha} = 0$

Dans le cas d'un fluide parfait, où T^αβ = Pg^αβ − (ρ + P)u^αu^β, en métrique plate, cette condition de divergence nulle redonne la loi newtonienne bien connue : $-\frac {\partial \overrightarrow \rho} {\partial t} + \overrightarrow {grad} P = 0$.

Voir aussi

• Tenseur
• Relativité générale
• Équation d'Einstein

Bibliographie

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