Matrice De Vandermonde


Matrice De Vandermonde

Matrice de Vandermonde

En algèbre linéaire, une matrice de Vandermonde est une matrice avec une progression géométrique dans chaque ligne. Elle tient son nom d'Alexandre-Théophile Vandermonde.

Sommaire

Présentation

De façon matricielle, elle se présente ainsi :

V=\begin{pmatrix}
1 & \alpha_1 & {\alpha_1}^2 & \dots & {\alpha_1}^{n-1}\\
1 & \alpha_2 & {\alpha_2}^2 & \dots & {\alpha_2}^{n-1}\\
1 & \alpha_3 & {\alpha_3}^2 & \dots & {\alpha_3}^{n-1}\\
\vdots & \vdots & \vdots & &\vdots \\
1 & \alpha_m & {\alpha_m}^2 & \dots & {\alpha_m}^{n-1}\\
\end{pmatrix}

Autrement dit, pour tous i et j, V_{i,j} = {\alpha_i}^{j-1}.

Remarque.
Certains auteurs utilisent la transposée de la matrice ci-dessus.

Inversibilité

On considère une matrice V de Vandermonde carrée (m = n). Elle est inversible si et seulement si les αi sont deux à deux distincts.

Demonstration

Si deux coefficients αi sont identiques, la matrice a deux lignes identiques, donc n'est pas inversible.

Pour la réciproque, on peut procéder au calcul du déterminant, ce qui sera fait dans le prochain paragraphe.

Une preuve d'inversibilité plus rapide est cependant de considérer V comme la matrice du système linéaire homogène VX=0 pour X de composantes x0, ... xn-1

\begin{cases}
x_0 + \alpha_1 x_1 + \alpha_1^2 x_2 + &\dots + \alpha_1^{n-1} x_{n-1}=0\\
& \dots \\
x_0 + \alpha_n x_1 + \alpha_n^2 x_2 + &\dots + \alpha_n^{n-1} x_{n-1}=0
\end{cases}

Mais en introduisant le polynôme

P(Y)=\sum_{i=0}^{n-1} x_i Y^i

On voit que si X vérifie l'équation VX=0, alors P admet n racines distinctes, soit plus que son degré. Donc P est nul, et ainsi X=0. Ce qui prouve que V est inversible.

Déterminant

Le déterminant d'une matrice n \times n de Vandermonde (m = n dans ce cas) peut s'exprimer ainsi:

\det(V) = \prod_{1\le i<j\le n} (\alpha_j-\alpha_i)

Démonstrations

Il suffit d'exécuter l'opération élémentaire Ci C_{i} - (\alpha_1 \times C_{i-1}) (sur les colonnes, en partant de Cn et en remontant jusqu'à C2).

Le déterminant reste inchangé puisque: detUi,j(λ) = 1 et devient :

\det(V)=\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 & \dots & 0\\
1 & \alpha_2-\alpha_1 & \alpha_2(\alpha_2-\alpha_1) & \dots & \alpha_2^{n-2}(\alpha_2-\alpha_1)\\
1 & \alpha_3-\alpha_1 & \alpha_3(\alpha_3-\alpha_1) & \dots & \alpha_3^{n-2}(\alpha_3-\alpha_1)\\
\vdots & \vdots & \vdots & &\vdots \\
1 & \alpha_n-\alpha_1 & \alpha_n(\alpha_n-\alpha_1) & \dots & \alpha_n^{n-2}(\alpha_n-\alpha_1)\\
\end{vmatrix}


En développant selon la première ligne, il vient tout naturellement :

\det(V)=\begin{vmatrix}
\alpha_2-\alpha_1 & \alpha_2(\alpha_2-\alpha_1) & \dots & \alpha_2^{n-2}(\alpha_2-\alpha_1)\\
\alpha_3-\alpha_1 & \alpha_3(\alpha_3-\alpha_1) & \dots & \alpha_3^{n-2}(\alpha_3-\alpha_1)\\
\vdots & \vdots & &\vdots \\
\alpha_n-\alpha_1 & \alpha_n(\alpha_n-\alpha_1) & \dots & \alpha_n^{n-2}(\alpha_n-\alpha_1)\\
\end{vmatrix}

C’est-à-dire :

\det(V)=
(\alpha_2-\alpha_1)(\alpha_3-\alpha_1)\dots(\alpha_n-\alpha_1)
\begin{vmatrix}
1 & \alpha_2 & \alpha_2^2 & \dots & \alpha_2^{n-2}\\
1 & \alpha_3 & \alpha_3^2 & \dots & \alpha_3^{n-2}\\
1 & \alpha_4 & \alpha_4^2 & \dots & \alpha_4^{n-2}\\
\vdots & \vdots & \vdots & &\vdots \\
1 & \alpha_n & \alpha_n^2 & \dots & \alpha_n^{n-2}\\
\end{vmatrix}

Par récurrence immédiate, on retrouve le résultat annoncé

Autre démonstration

Le déterminant  \quad D_n=D(a_1,a_2,...a_n) de la matrice est clairement un polynôme en  \quad a_1, a_2, ...,a_n . De plus ce déterminant s'annule lorsque 2 des nombres  \quad a_i, a_j sont égaux (puisqu'il y a alors 2 lignes identiques). Par suite ce déterminant est égal à

 \quad Q_n(a_1,a_2,...,a_n).\prod_{1\le i<j \le n} (a_j-a_i)

\quad Q_n est lui-même un polynôme.

Cependant le degré en  \quad a_n du déterminant est n − 1 (il suffit d'imaginer le développement selon la dernière colonne). Comme le degré du terme sous forme de produit est aussi n − 1, \quad Q_n est une constante relativement à  \quad a_n . Il en est de même vis-à-vis de toutes les variables, donc c'est une constante que nous désignerons par kn.

Démontrons alors par récurrence que kn = 1 pour tout n.

Ceci est évidemment vrai pour n = 1 et 2. D'autre part, si cette affirmation est vraie jusque n − 1, calculons de 2 manières le coefficient du terme de plus haut degré (n-1) en an du déterminant \quad D_n . D'une part en développant selon la dernière colonne nous obtenons  \quad D_{n-1} (cofacteur de  a_n^{n-1} ) et d'autre part avec la formule que nous venons d'établir et l'hypothèse de récurrence

 \quad k_n.\prod_{1\le i<j \le n-1} (a_j-a_i) = k_n.D_{n-1}

D'où il résulte bien que kn = 1.

Ceci achève la démonstration.

Voir Aussi

Lien interne

Interpolation lagrangienne

Lien externe

Didier Piau, Un tour du (Vander)monde en 70 minutes


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