Droite Réelle Achevée


Droite Réelle Achevée

Droite réelle achevée

En mathématiques, la droite réelle achevée désigne l'ensemble \overline{\mathbb{R}} constitué des nombres réels auxquels on adjoint deux éléments notés + \infty et - \infty (qui ne sont pas considérés comme des nombres réels) vérifiant les propriétés suivantes :

  • pour tout réel x, x < + \infty,
  • pour tout réel x, x > - \infty


L'addition et la multiplication définis sur l'ensemble des réels restent valables dans la droite achevée, de sorte que :

  • Addition : pour tout réel x,

x + (+ \infty) = (+ \infty)

x + (- \infty) = (- \infty)

(+ \infty) + (+ \infty) = (+ \infty)

(- \infty) + (- \infty) = (- \infty)

  • Multiplication : pour tout réel strictement positif x (x > 0),

x \times (+ \infty) = (+ \infty)

x \times (- \infty) = (- \infty)

  • pour tout réel strictement négatif x (x < 0),

x \times (+ \infty) = (- \infty)

x \times (- \infty) = (+ \infty)

(+ \infty) \times (+ \infty) = (+ \infty)

(+ \infty) \times (- \infty) = (- \infty)

(- \infty) \times (- \infty) = (+ \infty)

  • en revanche, les expressions

(+ \infty) + (- \infty),

0 \times (+ \infty) et

0 \times (- \infty) n'ont aucun sens.

L'une de ses particularités notables est que tout ensemble inclus dans la droite réelle achevée admet une borne supérieure et une borne inférieure, y compris l'ensemble vide (noté ∅, et qui dans la droite réelle achevée admet + \infty en tant que borne inférieure, et - \infty en tant que borne supérieure).

Cet ensemble est très utile en analyse, et particulièrement dans certaines théories de l'intégration.

Voir aussi

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